Exercício 7 Considere X \sim U(a, b), a<b. Mostre que Y=c X+d \sim U(c a+d, c b+d), em que c>0 e d \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • X \sim U(a,b) com a<b (ou seja, X é uniforme no intervalo [a,b]);
  • c>0 e d\in\mathbb{R};
  • define-se Y = cX + d.
    O que se pede: mostrar que Y também é uma variável aleatória uniforme, com distribuição Y \sim U(ca+d,\; cb+d).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a função de distribuição acumulada (CDF) de X\). Para \(X\sim U(a,b)\) vale: \[F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 1, & x>b. \end{cases}
Isso vem da definição: a probabilidade de X\] estar entre \(a e x\in[a,b] é a fração do comprimento do intervalo, isto é, (x-a)/(b-a).]

Passo 3

Agora calculamos a CDF de Y, que é F_Y(y)=P(Y\le y). Usando Y=cX+d e sabendo que c>0 (portanto podemos dividir pela constante sem inverter a desigualdade), obtemos:
F_Y(y)=P(cX+d\le y)=P\!\left(X\le \frac{y-d}{c}\right)=F_X\!\left(\frac{y-d}{c}\right).
Agora substituímos a expressão de F_X de forma peça por peça. Há três regiões para y:
  • Se y < ca+d então \dfrac{y-d}{c}<a, logo
F_Y(y)=0.
  • Se y>cb+d então \dfrac{y-d}{c}>b, logo
F_Y(y)=1.
  • Se ca+d \le y \le cb+d então a \le \dfrac{y-d}{c}\le b e
F_Y(y)=\frac{\dfrac{y-d}{c}-a}{b-a}=\frac{y-d-ca}{c(b-a)}.
Portanto a CDF de Y é
F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<ca+d,\\[6pt] \dfrac{y-d-ca}{c(b-a)}, & ca+d \le y \le cb+d,\\[8pt] 1, & y>cb+d. \end{cases}]

Passo 4

Para obter a densidade de probabilidade de Y diferenciamos F_Y em relação a y na região interna do suporte. Para y\in (ca+d,\;cb+d):
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\left(\frac{y-d-ca}{c(b-a)}\right)=\frac{1}{c(b-a)}.
Nas outras regiões f_Y(y)=0. Observe que o comprimento do novo intervalo é
(cb+d)-(ca+d)=c(b-a),
e portanto a densidade constante encontrada pode ser escrita como
f_Y(y)=\frac{1}{(cb+d)-(ca+d)},
o que é exatamente a densidade de uma distribuição uniforme no intervalo [ca+d,\;cb+d].

Passo 5

Resumo e interpretação didática: ao aplicar uma transformação linear y=cx+d com c>0, o intervalo [a,b] no qual X é uniforme é “esticado” por fator c e transladado por d, virando [ca+d,\;cb+d]. A densidade uniforme se ajusta multiplicando por 1/c (porque o comprimento do intervalo foi multiplicado por c), de modo a manter a massa total igual a 1. O cálculo via CDF acima mostra exatamente isso.
Como observação rápida: se c<0 o raciocínio é similar, mas ao dividir pela constante a desigualdade inverte e o intervalo final fica [cb+d,\;ca+d] (ou, reordenando, [ca+d,\;cb+d] com troca de extremos); o detalhe importante é que o suporte final é o image do suporte original pela transformação linear e a densidade continua sendo a constante igual a 1/comprimento do novo intervalo.

Resposta

Y \sim U(ca+d,\; cb+d)

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