Exercício 5 Considere X\) com f.d.p dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{x}{8} & \text { se } 0<x<4 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}
Seja Y=X(2-X)\]. Determine a f.d.a e a f.d.p de \(Y.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A variável aleatória X\) tem f.d.p. \[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{x}{8}, & \text{se } 0<x<4,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
  • Define-se (Y = X(2-X)].
O que é pedido:
  • Determinar a f.d.a. de Y, isto é F_{Y}(y)=P(Y\le y) para todo y\in\mathbb{R}.
  • Determinar a f.d.p. de Y, isto é f_{Y}(y)=F_{Y}'(y) (quando existir).
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • O suporte de X é 0<x<4.
  • A f.d.p. de X é f_X(x)=x/8 em 0<x<4.]

Passo 2

Analisar a transformação g(x)=x(2-x) com calma (isso é importante para saber como encontrar a f.d.a. de Y).
  1. Expressão e derivada:
g(x)=x(2-x) = -x^{2}+2x, \qquad g'(x)=2-2x = 2(1-x).
  1. Forma da função:
  • É uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 negativo), então tem um máximo local no vértice.
  • Vértice em x=1 (porque g'(x)=0 \Rightarrow x=1). O valor máximo é
g(1)=1(2-1)=1.
  1. Valores nos extremos do intervalo de X:
g(0)=0, \qquad g(2)=0, \qquad g(4)=4(2-4)= -8.
Mas atenção: X só toma valores em 0<x<4 (extremos não incluídos). No entanto x=2 e x=1 estão no intervalo, então Y atinge 0 (no x=2) e atinge 1 (no x=1). Em x\to4^{-} temos g(x)\to-8^{+} (não atinge -8 porque x=4 não faz parte do suporte). Assim o conjunto de valores possíveis de Y é
\{y: -8<y\le 1\}.
(ou seja, o suporte de Y é (-8,1]).

Passo 3

Resolver a equação g(x)=y para encontrar as pré-imagens de um valor y. Isso é necessário porque g não é monotônica em todo o suporte de X (ela sobe até x=1 e depois desce), então, para um mesmo y pode haver duas raízes x com g(x)=y.
Resolver
-x^{2}+2x = y \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-2x+y=0.
As raízes são
x = 1 \pm \sqrt{1-y}.
Essas raízes são reais se e somente se 1-y\ge 0, isto é, se y\le 1. Para y>1 não há solução real (o que bate com o máximo 1 de g).
Denote
x_{-}(y)=1-\sqrt{1-y},\qquad x_{+}(y)=1+\sqrt{1-y}.
Observações úteis:
  • x_{-}(y)\le x_{+}(y).
  • Para y próximo de -8 tem-se x_{-}(y)<0 e x_{+}(y) próximo de 4.
  • Para y\in(0,1] ambos x_{-}(y) e x_{+}(y) estão dentro do suporte (0,4).
  • Para y\in(-8,0] temos x_{-}(y)\le 0 (logo fora do suporte à esquerda) e 0<x_{+}(y)<4.
Essas observações mostram que devemos tratar separadamente as faixas de y:
  • y\le -8,
  • -8<y<0,
  • 0\le y\le 1,
  • y>1.

Passo 4

Calcular a f.d.a. [F_{Y}(y)=P(Y\le y)) por integração das pré-imagens no suporte de X. A idéia: para cada y calcular o conjunto A_y=\{x\in(0,4): g(x)\le y\} e integrar f_X sobre A_y.
Lembrete de integral (vou usar isto várias vezes): para f_X(x)=x/8,
\int \frac{x}{8}\,dx = \frac{x^{2}}{16}.
Agora os casos:
  1. Caso y\le -8.
  • Como observado, para todo x\in(0,4) tem-se g(x)>-8. Logo
F_{Y}(y)=0\quad\text{se } y\le -8.
  1. Caso -8<y<0.
  • As soluções x_{-}(y) e x_{+}(y) existem, mas x_{-}(y)\le 0 (fora do suporte) e 0<x_{+}(y)<4.
  • Para a parábola voltada para baixo, a desigualdade g(x)\le y corresponde a x\le x_{-}(y) ou x\ge x_{+}(y). Intersecando com o suporte 0<x<4 obtemos x\in[x_{+}(y),4).
  • Portanto
F_{Y}(y)=\int_{x_{+}(y)}^{4}\frac{x}{8}\,dx = \left.\frac{x^{2}}{16}\right|_{x_{+}(y)}^{4} = \frac{16 - x_{+}(y)^{2}}{16}.
Substituindo x_{+}(y)=1+\sqrt{1-y} e calculando x_{+}(y)^{2}:
x_{+}^{2}=(1+\sqrt{1-y})^{2}=2 - y + 2\sqrt{1-y}.
Logo
F_{Y}(y) = \frac{16 - (2 - y + 2\sqrt{1-y})}{16} = \frac{14 + y - 2\sqrt{1-y}}{16}.
  1. Caso 0\le y\le 1.
  • Agora 0<x_{-}(y)<x_{+}(y)<4, então a pré-imagem de \{g(x)\le y\} é x\in(0,x_{-}(y)]\cup[x_{+}(y),4).
  • Assim
F_{Y}(y) = \int_{0}^{x_{-}(y)}\frac{x}{8}\,dx + \int_{x_{+}(y)}^{4}\frac{x}{8}\,dx = \frac{x_{-}(y)^{2}}{16} + \frac{16 - x_{+}(y)^{2}}{16}.
Calcule x_{-}(y)^{2}=(1-\sqrt{1-y})^{2}=2 - y - 2\sqrt{1-y} e use o valor de x_{+}^{2} do item anterior. Somando:
x_{-}^{2} + 16 - x_{+}^{2} = (2 - y - 2\sqrt{1-y}) + 16 - (2 - y + 2\sqrt{1-y}) = 16 - 4\sqrt{1-y}.
Portanto
F_{Y}(y) = \frac{16 - 4\sqrt{1-y}}{16} = 1 - \frac{1}{4}\sqrt{1-y}, \qquad 0\le y\le 1.
  1. Caso y>1.
  • Como 1 é o máximo possível de Y, para y>1 temos P(Y\le y)=1.
Resumo da f.d.a. (juntando os casos):
F_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y\le -8,\\[4pt] \dfrac{14 + y - 2\sqrt{1-y}}{16}, & -8<y<0,\\[8pt] 1 - \dfrac{1}{4}\sqrt{1-y}, & 0\le y\le 1,\\[6pt] 1, & y>1. \end{cases}
É sempre bom verificar contornos:
  • Em y\to -8^{+}\]: \(\sqrt{1-y}\to 3 e F_{Y}\to (14-8-2\cdot 3)/16 = 0.
  • Em y\to 0^{-}: \sqrt{1-y}\to 1 e F_{Y}\to (14+0-2\cdot1)/16 = 12/16 = 3/4.
  • Em y=0 pela fórmula do intervalo superior: F_{Y}(0)=1-\tfrac14\cdot1=3/4. Então F é contínua em y=0.
  • Em y=1: F_{Y}(1)=1-\tfrac14\cdot 0=1, consistente com o caso y>1.]

Passo 5

Determinar a f.d.p. f_{Y}(y) derivando F_{Y}(y) por partes (e comentar a forma alternativa via soma sobre as raízes, que é mais direta quando se conhece a regra).
Derivando as expressões obtidas:
  1. Para y\le -8 e y>1: f_{Y}(y)=0.
  2. Para -8<y<0:
F_{Y}(y)=\frac{14 + y - 2\sqrt{1-y}}{16}.
Derivando: seja s(y)=\sqrt{1-y}=(1-y)^{1/2}. Então s'(y)=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}}=-\dfrac{1}{2s}.
f_{Y}(y)=F_{Y}'(y)=\frac{1}{16} - \frac{2}{16}\,s'(y) = \frac{1}{16} - \frac{1}{8}\left(-\frac{1}{2s}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{16s}.
Substituindo s=\sqrt{1-y},
f_{Y}(y)=\frac{1}{16}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1-y}}\right) = \frac{1+\sqrt{1-y}}{16\sqrt{1-y}}, \qquad -8<y<0.
  1. Para 0<y<1:
F_{Y}(y)=1-\frac{1}{4}\sqrt{1-y} = 1 - \frac{1}{4}s(y).
Derivando:
f_{Y}(y)= -\frac{1}{4}s'(y) = -\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2s}\right) = \frac{1}{8s} = \frac{1}{8\sqrt{1-y}}, \qquad 0<y<1.
Observação (método alternativo e mais compacto): quando y\in(0,1) existem duas pré-imagens x_{-} e x_{+} no suporte e a fórmula geral para transformação por funções diferenciáveis e monotônicas por ramo dá
f_{Y}(y)=\sum_{x:g(x)=y}\frac{f_X(x)}{|g'(x)|}.
Aqui isso leva a
f_{Y}(y)=\frac{f_X(x_{-})}{|g'(x_{-})|}+\frac{f_X(x_{+})}{|g'(x_{+})|} = \frac{x_{-}/8 + x_{+}/8}{2\sqrt{1-y}} = \frac{1}{8\sqrt{1-y}},
o que coincide com a derivada encontrada. Para -8<y<0 só há uma pré-imagem no suporte (apenas x_{+}), daí resulta a fórmula do item correspondente.
Podemos definir o valor em y=0 por continuidade: ambos os limites laterais valem 1/8, então podemos tomar f_{Y}(0)=1/8 (isso não altera probabilidades pois é um ponto).

Resposta

F_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y\le -8,\\[6pt] \dfrac{14 + y - 2\sqrt{1-y}}{16}, & -8<y<0,\\[8pt] 1 - \dfrac{1}{4}\sqrt{1-y}, & 0\le y\le 1,\\[6pt] 1, & y>1, \end{cases}
f_{Y}(y)= \begin{cases} 0, & y\le -8,\\[4pt] \dfrac{1+\sqrt{1-y}}{16\sqrt{1-y}}, & -8<y<0,\\[8pt] \dfrac{1}{8\sqrt{1-y}}, & 0<y<1,\\[6pt] 0, & y\ge 1. \end{cases}]

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