Exercício 2.5 Construir as curvas de nível das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{y}{\sqrt{x}};

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x}} e pede para “construir as curvas de nível”.
O que isso significa aqui: para cada constante real c devemos descrever o conjunto de pontos (x,y) no plano que satisfazem f(x,y)=c.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x}}.
  • O pedido é obter as curvas de nível, isto é, os conjuntos \{(x,y): f(x,y)=c\} para constantes c.

Passo 2

Definição prática de curva de nível (mini-aula):
Uma curva de nível associada a uma constante c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Para construir essas curvas, substitui-se f(x,y) por c e resolve-se a equação resultante para relacionar x e y. Aqui vamos aplicar isso diretamente.

Passo 3

Domínio da função (essencial antes de resolver):
A expressão \sqrt{x} exige x\ge 0. Além disso, \sqrt{x} aparece no denominador, então não podemos ter \sqrt{x}=0. Logo o domínio relevante para f é
x>0,\qquad y\in\mathbb{R}.
Explicando devagar: para x=0 teríamos divisão por zero, que não é permitida; portanto todas as curvas de nível só podem envolver pontos com x>0.

Passo 4

Escrever a equação da curva de nível e isolar y:
Tomando uma constante arbitrária c\in\mathbb{R}, a condição de nível é
\frac{y}{\sqrt{x}}=c.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{x} (válido porque x>0 implica \sqrt{x}>0), obtemos
y=c\sqrt{x}.
Esta é já uma forma simples: para cada c, a curva de nível é o gráfico da função y=c\sqrt{x} com x>0.

Passo 5

Colocar em forma de parábola (opção útil para visualizar):
Se quisermos uma equação que não contenha raiz, podemos elevar ao quadrado. Cuidados: ao elevar ao quadrado pode aparecer perda de informação sobre sinal, então vamos controlar isso depois. Ao elevar:
y^2 = c^2 x.
Reescrevendo,
x=\frac{y^2}{c^2}\quad\text{(para \(c\neq 0\)).}
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita (variável x em função de y^2). Porém, devido à equação original y=c\sqrt{x} (onde \sqrt{x}\ge 0), há uma restrição de sinal: \sqrt{x}\ge0 implica que o sinal de y deve ser o mesmo de c. Portanto:
  • Se c>0: a curva é a parte superior da parábola x=\dfrac{y^2}{c^2}, isto é, pontos com y\ge 0.
  • Se c<0: a curva é a parte inferior da mesma parábola, isto é, pontos com y\le 0.
  • Se c=0: a equação reduz a y=0 com x>0, ou seja, o semieixo positivo x>0 do eixo x.

Passo 6

Interpretação geométrica e efeito de c (como desenhar e comparar curvas):
  • Todas as curvas de nível são parábolas que abrem para a direita com vértice na origem (0,0), mas lembrando que o domínio exige x>0, então a origem não pertence (porque em x=0 a função não está definida); na prática as curvas ocupam a região x>0.
  • Para c\neq 0 a parábola pode ser escrita como
x=\frac{1}{c^2}y^2.
O fator \dfrac{1}{c^2} controla a “abertura” horizontal da parábola: quanto maior |c|, menor \dfrac{1}{c^2}, logo a parábola fica mais “próxima” ao eixo y (mais estreita em x); quanto menor |c| (mas não zero), maior \dfrac{1}{c^2}, logo a parábola se abre mais para a direita.

Passo 7

Exemplos concretos (para me acostumar a desenhar na prova):
  • Para c=1: y=\sqrt{x}. É a curva superior da parábola x=y^2 com y\ge 0.
  • Para c=2: y=2\sqrt{x}. Equivalente a x=\dfrac{y^2}{4} com y\ge 0 — parabola mais estreita que a de c=1.
  • Para c=-1: y=-\sqrt{x}. É a curva inferior da parábola x=y^2 com y\le 0.
  • Para c=0: y=0 com x>0 — semieixo positivo do eixo das abscissas.

Passo 8

Parametrização útil para traçar em um rascunho (truque prático):
Uma parametrização simples é tomar t=\sqrt{x}>0. Então x=t^2 e a curva fica
y=c\,t,\qquad t>0,
ou seja, no parâmetro t é uma reta no plano (t,y), mas ao mapear de volta para (x,y) dá a parábola desejada. Na prática, para desenhar: escolha valores t>0 (por exemplo t=0,0{,}5,1,2), calcule x=t^2 e y=c t, e marque os pontos.

Passo 9

Resumo final e instrução de prova (o que escrever como resposta curta):
  • Explicar domínio x>0.
  • Escrever a equação das curvas de nível: para c\in\mathbb{R},
\frac{y}{\sqrt{x}}=c \quad\Longleftrightarrow\quad y=c\sqrt{x},\quad x>0.
  • Observações: para c\neq0 equivalem às parábolas x=\dfrac{y^2}{c^2} com a restrição de sinal \operatorname{sign}(y)=\operatorname{sign}\text{(c)}; para c=0 dá o semieixo y=0,\\ x>0.

Resposta

As curvas de nível são, para cada c\in\mathbb{R},
y=c\sqrt{x},\qquad x>0.
Em forma de parábola (quando c\neq0):
x=\frac{y^2}{c^2},\qquad x>0,
com y\ge0 se c>0, y\le0 se c<0; e para c=0 tem y=0,\\ x>0.

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