Exercício 2.5 Construir as curvas de nível das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “construir as curvas de nível”.
O que isso significa aqui: para cada constante real devemos descrever o conjunto de pontos
no plano que satisfazem
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O que isso significa aqui: para cada constante real
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O pedido é obter as curvas de nível, isto é, os conjuntos
para constantes .
Passo 2
Definição prática de curva de nível (mini-aula):
Uma curva de nível associada a uma constante é o conjunto de pontos
tais que
Uma curva de nível associada a uma constante
Para construir essas curvas, substitui-se
por
e resolve-se a equação resultante para relacionar
e
. Aqui vamos aplicar isso diretamente.
Passo 3
Domínio da função (essencial antes de resolver):
A expressão exige
. Além disso,
aparece no denominador, então não podemos ter
. Logo o domínio relevante para
é
A expressão
Explicando devagar: para
teríamos divisão por zero, que não é permitida; portanto todas as curvas de nível só podem envolver pontos com
.
Passo 4
Escrever a equação da curva de nível e isolar
:
Tomando uma constante arbitrária , a condição de nível é
Tomando uma constante arbitrária
Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
implica
), obtemos
Esta é já uma forma simples: para cada
, a curva de nível é o gráfico da função
com
.
Passo 5
Colocar em forma de parábola (opção útil para visualizar):
Se quisermos uma equação que não contenha raiz, podemos elevar ao quadrado. Cuidados: ao elevar ao quadrado pode aparecer perda de informação sobre sinal, então vamos controlar isso depois. Ao elevar:
Se quisermos uma equação que não contenha raiz, podemos elevar ao quadrado. Cuidados: ao elevar ao quadrado pode aparecer perda de informação sobre sinal, então vamos controlar isso depois. Ao elevar:
Reescrevendo,
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita (variável
em função de
). Porém, devido à equação original
(onde
), há uma restrição de sinal:
implica que o sinal de
deve ser o mesmo de
. Portanto:
- Se
: a curva é a parte superior da parábola , isto é, pontos com . - Se
: a curva é a parte inferior da mesma parábola, isto é, pontos com . - Se
: a equação reduz a com , ou seja, o semieixo positivo do eixo .
Passo 6
Interpretação geométrica e efeito de
(como desenhar e comparar curvas):
- Todas as curvas de nível são parábolas que abrem para a direita com vértice na origem
, mas lembrando que o domínio exige , então a origem não pertence (porque em a função não está definida); na prática as curvas ocupam a região . - Para
a parábola pode ser escrita como
O fator
controla a “abertura” horizontal da parábola: quanto maior
, menor
, logo a parábola fica mais “próxima” ao eixo
(mais estreita em
); quanto menor
(mas não zero), maior
, logo a parábola se abre mais para a direita.
Passo 7
Exemplos concretos (para me acostumar a desenhar na prova):
- Para
: . É a curva superior da parábola com . - Para
: . Equivalente a com — parabola mais estreita que a de . - Para
: . É a curva inferior da parábola com . - Para
: com — semieixo positivo do eixo das abscissas.
Passo 8
Parametrização útil para traçar em um rascunho (truque prático):
Uma parametrização simples é tomar . Então
e a curva fica
Uma parametrização simples é tomar
ou seja, no parâmetro
é uma reta no plano
, mas ao mapear de volta para
dá a parábola desejada. Na prática, para desenhar: escolha valores
(por exemplo
), calcule
e
, e marque os pontos.
Passo 9
Resumo final e instrução de prova (o que escrever como resposta curta):
- Explicar domínio
. - Escrever a equação das curvas de nível: para
,
- Observações: para
equivalem às parábolas com a restrição de sinal ; para dá o semieixo .
Resposta
As curvas de nível são, para cada
,
Em forma de parábola (quando
):
com
se
,
se
; e para
tem
.