Exercício 2.7 Esboçe as seguintes superfícies no espaço \mathbb{R}^{3}.
f(x, y)=4-2 x;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=4-2x e pede que se esboce a superfície correspondente no espaço \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é definida por z=f(x,y)=4-2x.
  • As variáveis x e y não tiveram restrição no enunciado, portanto o domínio é todo \mathbb{R}^{2}.
  • A tarefa é representar graficamente (esboçar) essa superfície em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Entendendo o que significa z=f(x,y).
Quando temos uma função z=f(x,y) isso significa que a altura z em cada ponto (x,y) do plano xy é dada pela fórmula 4-2x. Ou seja:
  • Para cada par (x,y) existe exatamente um z.
  • Geometricamente, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) com z=4-2x é uma superfície em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Detectando que tipo de superfície é: procurar forma linear.
Reescrevendo a relação:
z = 4 - 2x
podemos rearranjar como
2x + z = 4.
Essa é uma equação do tipo linear em x,y,z sem termo em y. A forma geral de um plano é
a x + b y + c z = d,
logo, comparar com 2x + 0\cdot y + 1\cdot z = 4 mostra que a superfície é um plano. Portanto a superfície é um plano no espaço.

Passo 4

Interpretação pelo vetor normal e orientação do plano.
Para um plano dado por a x + b y + c z = d, o vetor normal é (a,b,c). Aqui:
\text{vetor normal} = (2,0,1).
Isso nos diz a orientação do plano: ele é inclinado em relação aos eixos x e z, e não depende de y (já que o coeficiente de y é zero), ou seja, o plano é paralelo ao eixo y.

Passo 5

Encontrando pontos notáveis para desenhar (interceptos e pontos para traçar o plano).
Calcule interceptos e alguns pontos fáceis:
  • Intercepto com o eixo z: tomar x=0 e y=0
z = 4 - 2\cdot 0 = 4,
ou seja o ponto (0,0,4).
  • Intercepto com o eixo x (quando z=0 e y=0):
0 = 4 - 2x \Rightarrow x = 2,
ponto (2,0,0).
  • Para x=0 e qualquer y temos z=4, então todos os pontos (0,y,4) pertencem ao plano: a interseção com o plano x=0 é uma reta paralela a y.
  • Para x=1 e y=0 temos z=4-2\cdot1=2, ponto (1,0,2).
Portanto três pontos não colineares que determinam o plano: por exemplo (0,0,4), (2,0,0) e (0,1,4).

Passo 6

Equação paramétrica e interpretação como soma de vetores (útil para esboçar).
Uma forma paramétrica conveniente é usar (x,y) como parâmetros:
\mathbf{r}(x,y) = (x,\; y,\; 4-2x).
Outra forma centrada em um ponto e vetores diretores:
\mathbf{r}(s,t) = (0,0,4) + s(1,0,-2) + t(0,1,0),
onde s,t\in\mathbb{R}. Aqui os vetores diretores são (1,0,-2) (movendo-se na direção do eixo x muda z) e (0,1,0) (movendo-se em y não muda z).

Passo 7

Curvas de nível (contornos) e seções transversais — como visualizar no esboço.
Curvas de nível (fixar z=c):
c = 4 - 2x \quad\Rightarrow\quad x = \frac{4-c}{2}.
Ou seja, para cada valor de c a curva de nível é a reta vertical (paralela ao eixo y) com abscissa x=(4-c)/2. Exemplos:
  • Para z=4: x=0 (reta \{(0,y,4)\}).
  • Para z=2: x=1 (reta \{(1,y,2)\}).
  • Para z=0: x=2 (reta \{(2,y,0)\}).
Seções por planos:
  • Se cortar por um plano y= constante obtemos a reta no plano y= const dada por z=4-2x (reta de inclinação -2 no eixo x- z).
  • Se cortar por um plano x= constante obtemos uma linha horizontal (paralela ao eixo y) situada à altura z=4-2x_{0}.
Essas informações mostram que o plano é formado por retas paralelas ao eixo y deslocadas em x, e que ao variar x a altura z varia linearmente.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instrução prática que podes aplicar na prova, sem calculadora).
  1. Desenhe um sistema de eixos coordenados: x para a direita, y para fora/do lado e z para cima (ou conforme o hábito do seu professor).
  2. Marque os pontos fundamentais calculados: (0,0,4), (2,0,0) e também um ponto com x=0, y=1, z=4 para mostrar paralelismo em y.
  3. Ligue (0,0,4) a (2,0,0): isso já dá uma reta de interseção do plano com o plano y=0.
  4. A partir da reta anterior, desenhe retas paralelas a ela deslocadas em direção do eixo y (ou seja, mantenha a mesma maneira que a reta muda com x, mas copie para diferentes valores de y). Como o plano é paralelo ao eixo y, essas linhas serão reproduzidas para todos os y.
  5. Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano xy — retas verticais em x=0,1,2 correspondendo a z=4,2,0 — para reforçar a forma.
Dica didática: escolher três pontos não colineares e traçar a superfície como o plano que passa por eles é a maneira mais segura em prova.

Passo 9

Resumo conceitual e verificação rápida.
  • A superfície é um plano; não tem curvatura.
  • É paralela ao eixo y, porque y não aparece na fórmula.
  • A inclinação na direção x é -2: aumentar x em 1 diminui z em 2.
  • Vetor normal (2,0,1) confirma a orientação.

Resposta

A superfície é o plano \;z=4-2x\; (equivalente a \;2x+z=4), com vetor normal (2,0,1); interceptos: (0,0,4) em z e (2,0,0) em x. Equação paramétrica: \mathbf{r}(x,y)=(x,y,4-2x).

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