Exercício 2.7 Esboçe as seguintes superfícies no espaço
.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se esboce a superfície correspondente no espaço
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é definida por
. - As variáveis
e não tiveram restrição no enunciado, portanto o domínio é todo . - A tarefa é representar graficamente (esboçar) essa superfície em
.
Passo 2
Entendendo o que significa
.
Quando temos uma função
isso significa que a altura
em cada ponto
do plano
é dada pela fórmula
. Ou seja:
- Para cada par
existe exatamente um . - Geometricamente, o conjunto de todos os pontos
com é uma superfície em .
Passo 3
Detectando que tipo de superfície é: procurar forma linear.
Reescrevendo a relação:
podemos rearranjar como
Essa é uma equação do tipo linear em
sem termo em
. A forma geral de um plano é
logo, comparar com
mostra que a superfície é um plano. Portanto a superfície é um plano no espaço.
Passo 4
Interpretação pelo vetor normal e orientação do plano.
Para um plano dado por
, o vetor normal é
. Aqui:
Isso nos diz a orientação do plano: ele é inclinado em relação aos eixos
e
, e não depende de
(já que o coeficiente de
é zero), ou seja, o plano é paralelo ao eixo
.
Passo 5
Encontrando pontos notáveis para desenhar (interceptos e pontos para traçar o plano).
Calcule interceptos e alguns pontos fáceis:
- Intercepto com o eixo
: tomar e dá
ou seja o ponto
.
- Intercepto com o eixo
(quando e ):
ponto
.
- Para
e qualquer temos , então todos os pontos pertencem ao plano: a interseção com o plano é uma reta paralela a . - Para
e temos , ponto .
Portanto três pontos não colineares que determinam o plano: por exemplo
,
e
.
Passo 6
Equação paramétrica e interpretação como soma de vetores (útil para esboçar).
Uma forma paramétrica conveniente é usar
como parâmetros:
Outra forma centrada em um ponto e vetores diretores:
onde
. Aqui os vetores diretores são
(movendo-se na direção do eixo
muda
) e
(movendo-se em
não muda
).
Passo 7
Curvas de nível (contornos) e seções transversais — como visualizar no esboço.
Curvas de nível (fixar
):
Ou seja, para cada valor de
a curva de nível é a reta vertical (paralela ao eixo
) com abscissa
. Exemplos:
- Para
: (reta ). - Para
: (reta ). - Para
: (reta ).
Seções por planos:
- Se cortar por um plano
constante obtemos a reta no plano const dada por (reta de inclinação no eixo - ). - Se cortar por um plano
constante obtemos uma linha horizontal (paralela ao eixo ) situada à altura .
Essas informações mostram que o plano é formado por retas paralelas ao eixo
deslocadas em
, e que ao variar
a altura
varia linearmente.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (instrução prática que podes aplicar na prova, sem calculadora).
- Desenhe um sistema de eixos coordenados:
para a direita, para fora/do lado e para cima (ou conforme o hábito do seu professor). - Marque os pontos fundamentais calculados:
, e também um ponto com para mostrar paralelismo em . - Ligue
a : isso já dá uma reta de interseção do plano com o plano . - A partir da reta anterior, desenhe retas paralelas a ela deslocadas em direção do eixo
(ou seja, mantenha a mesma maneira que a reta muda com , mas copie para diferentes valores de ). Como o plano é paralelo ao eixo , essas linhas serão reproduzidas para todos os . - Opcional: desenhe algumas curvas de nível projetadas no plano
— retas verticais em correspondendo a — para reforçar a forma.
Dica didática: escolher três pontos não colineares e traçar a superfície como o plano que passa por eles é a maneira mais segura em prova.
Passo 9
Resumo conceitual e verificação rápida.
- A superfície é um plano; não tem curvatura.
- É paralela ao eixo
, porque não aparece na fórmula. - A inclinação na direção
é : aumentar em diminui em . - Vetor normal
confirma a orientação.
Resposta
A superfície é o plano
(equivalente a
), com vetor normal
; interceptos:
em
e
em
. Equação paramétrica:
.