Exercício 3 (D.2.2.10)
Seja
uma função Riemann integrável periódica de período
. Mostre que a função
definida como
é periódica (de período
) se, e somente se,
.
(Dica: Feito em sala de aula)
Seja
(Dica: Feito em sala de aula)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma função periódica
de período
e a primitiva parcial
temos que
também é periódica de período
se, e somente se,
Vamos usar propriedades de integrais e a periodicidade de
para relacionar
e
.
Passo 2
Escrevemos
como integral de
até
e separamos em dois trechos:
Passo 3
Na segunda parcela, fazemos a mudança de variável
. Como
é periódica de período
, temos
. Logo,
Passo 4
Com isso, reunimos os resultados:
Daí vemos que
para todo
se, e somente se,
Resposta
Mostramos que
é periódica de período
exatamente quando
.