Exercício 3 (D.2.2.10)
Seja f: R C uma função Riemann integrável periódica de período T>0. Mostre que a função F: R C definida como
F(theta)=integral0^theta f(s) d s
é periódica (de período T ) se, e somente se, integral0^T f(s) d s=0.
(Dica: Feito em sala de aula)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma função periódica f:RtoC de período T>0 e a primitiva parcial
F(theta)=integral0^thetaf(s),ds,
temos que F também é periódica de período T se, e somente se,
integral0^Tf(s),ds=0
Vamos usar propriedades de integrais e a periodicidade de f para relacionar F(theta+T) e F(theta).

Passo 2

Escrevemos F(theta+T) como integral de 0 até theta+T e separamos em dois trechos:
F(theta+T) =integral0^theta+Tf(s),ds =integral0^Tf(s),ds ;+;integralT^theta+Tf(s),ds

Passo 3

Na segunda parcela, fazemos a mudança de variável s = t+T. Como f é periódica de período T, temos f(t+T)=f(t). Logo,
integralT^theta+Tf(s),ds =integral0^thetaf(t+T),dt =integral0^thetaf(t),dt =F(theta)

Passo 4

Com isso, reunimos os resultados:
F(theta+T) =integral0^Tf(s),ds + F(theta)
Daí vemos que F(theta+T)=F(theta) para todo theta se, e somente se,
integral0^Tf(s),ds=0

Resposta

Mostramos que F é periódica de período T exatamente quando integral0^Tf(s),ds=0.

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