(c) Justifique se existem assíntotas horizontais ou assíntotas verticais ao gráfico da função .
Por (b), os limites laterais em zero são finitos, logo não existe assíntota vertical em zero. Nos restantes números reais a função é contínua, não tendo, portanto, quaisquer assíntotas verticais.
Por (a), concluímos que existem as assíntotas horizontais e .
Passo 1
O enunciado define a função de variável real
e pede:
(a) ;
(b) os limites laterais e ;
(c) verificar se há assíntotas horizontais ou verticais.
Vamos usar propriedades de limites, o Teorema do Confronto e o comportamento da em .
]
Analisar assíntotas.
Não há assíntota vertical em x=0 porque ambos os limites laterais em zero são finitos. Em qualquer outro ponto f é contínua, logo não há verticais.
As assíntotas horizontais vêm dos limites no infinito:
para xto+infty, f(x)to e, dando a reta y=e;
para xto-infty, f(x)to a, dando a reta y=a.
Resposta
(a) limxto+inftyf(x)=e e limxto-inftyf(x)=a.
(b) limxto0^+f(x)=-tfraca^22+e e limxto0^-f(x)=-tfracpi2+a.
(c) Não há assíntotas verticais; as assíntotas horizontais são y=e e y=a.