(a) Determine .
Queremos
Note que para todo ,
Como , o Teorema do Confronto garante
Agora, por continuidade da função arctg :
(b) Determine e .
Dica: se conveniente, pode usar que .
Por um lado,
E, por outro lado,
(c) Justifique se existem assíntotas horizontais ou assíntotas verticais ao gráfico da função .
Por (b), os limites laterais em zero são finitos, logo não existe assíntota vertical em zero. Nos restantes números reais a função é contínua, não tendo, portanto, quaisquer assíntotas verticais.
Por (a), concluímos que existem as assíntotas horizontais e .

Passo 1

O enunciado define a função de variável real
e pede:
(a) ;
(b) os limites laterais e ;
(c) verificar se há assíntotas horizontais ou verticais.
Vamos usar propriedades de limites, o Teorema do Confronto e o comportamento da em .
]

Passo 2

Calcular limxto+inftyf(x). Para x>0 temos
-1<=cos(a x)<=1 Longrightarrow -2<=cos(a x)-1<=0 Longrightarrow -2x^2<=cos(a x)-1x^2<=0
Somando e em toda a desigualdade e aplicando o Teorema do Confronto, como limxto+infty-tfrac2x^2=0, segue
limxto+inftycos(a x)-1x^2+e =e
Logo limxto+inftyf(x)=e.
Para xto-infty usamos arctan contínua e tfrac1xto0:
limxto-inftyf(x) =limxto-inftyl[arctanl(tfrac1xr)+ar] =arctanl(0r)+a =0+a =a

Passo 3

Calcular os limites laterais em 0.
Para xto0^+, de dica sabemos
limxto0cos(a x)-1x^2=-a^22,
logo
limxto0^+f(x) =limxto0^+cos(a x)-1x^2+e =-a^22+e
Para xto0^-, tfrac1xto-infty implica arctan(tfrac1x)to-tfracpi2, então
limxto0^-f(x) =limxto0^-l[arctanl(tfrac1xr)+ar] =-pi2+a

Passo 4

Analisar assíntotas.
Não há assíntota vertical em x=0 porque ambos os limites laterais em zero são finitos. Em qualquer outro ponto f é contínua, logo não há verticais.
As assíntotas horizontais vêm dos limites no infinito:
para xto+infty, f(x)to e, dando a reta y=e;
para xto-infty, f(x)to a, dando a reta y=a.

Resposta

(a) limxto+inftyf(x)=e e limxto-inftyf(x)=a.
(b) limxto0^+f(x)=-tfraca^22+e e limxto0^-f(x)=-tfracpi2+a.
(c) Não há assíntotas verticais; as assíntotas horizontais são y=e e y=a.

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