Exercício 2 (D.2.1.5)
Seja
uma função contínua e periódica de período
. Mostre que, para todo
, temos
(Dica: Feito em sala de aula)
Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e periódica de período
, e pede para mostrar que, para todo
,
Vamos usar cálculo de derivada de uma integral com limites que dependem de um parâmetro.
Passo 2
Definimos a função de parâmetro
Como
é contínua, podemos aplicar a regra de Leibniz para diferenciar integrais cujos limites dependem de
.
Passo 3
Pela regra de diferenciação sob o sinal de integral, temos
Passo 4
Pela periodicidade,
. Logo
o que significa que
é constante.
Passo 5
Basta avaliar essa constante em
:
Como
é constante, para todo
vale
ou seja