Exercício 2 (D.2.1.5)
Seja f: R C uma função contínua e periódica de período T>0. Mostre que, para todo a in R, temos
integrala^a+T f(t) d t=integral0^T f(t) d t
(Dica: Feito em sala de aula)

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoC é contínua e periódica de período T>0, e pede para mostrar que, para todo ainR,
integrala^a+Tf(t),dt ;=;integral0^Tf(t),dt
Vamos usar cálculo de derivada de uma integral com limites que dependem de um parâmetro.

Passo 2

Definimos a função de parâmetro
F(a)=integrala^a+Tf(t),dt
Como f é contínua, podemos aplicar a regra de Leibniz para diferenciar integrais cujos limites dependem de a.

Passo 3

Pela regra de diferenciação sob o sinal de integral, temos
F'(a) =ddaintegrala^a+Tf(t),dt =f(a+T),dda(a+T);-;f(a),dda(a) =f(a+T)-f(a)

Passo 4

Pela periodicidade, forall a:;f(a+T)=f(a). Logo
F'(a)=f(a+T)-f(a)=0,
o que significa que F(a) é constante.

Passo 5

Basta avaliar essa constante em a=0:
F(0)=integral0^T f(t) , dt
Como F é constante, para todo a vale
F(a)=F(0),
ou seja
integrala^a+T f(t) , dt = integral0^T f(t) , dt

Resposta

integrala^a+Tf(t),dt=integral0^Tf(t),dt

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