3.4I Derive duas vêzes, termo a termo, uma série de potências que representa a função
e mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para derivar duas vezes, termo a termo, a série de potências que representa
e usar isso para mostrar que
O conteúdo é: expansão em série de Taylor de
e derivação termo a termo.
Passo 2
Começamos da série de potências de
com
. Temos
Passo 3
Derivando uma vez termo a termo,
Em forma fechada sabemos também que
Passo 4
Derivando de novo termo a termo,
E em forma fechada
Passo 5
Definimos
Passo 6
Para
avaliamos
. Em série:
Em forma fechada:
Logo
e como
,
Para
usamos
então
Passo 7
Substituindo em
: