3.4I Derive duas vêzes, termo a termo, uma série de potências que representa a função
exp (-x^2) e mostre que sumn=1^infty (-1)^n+1(2 n+1)n!2^n=1.

Passo 1

O enunciado pede para derivar duas vezes, termo a termo, a série de potências que representa
exp(-x^2) e usar isso para mostrar que
sumn=1^infty(-1)^n+1(2n+1)n!,2^n=1
O conteúdo é: expansão em série de Taylor de exp(-x^2) e derivação termo a termo.

Passo 2

Começamos da série de potências de exp(t) com t=-x^2. Temos
exp(-x^2) =sumn=0^infty(-x^2)^nn! =sumn=0^infty(-1)^n,x^2nn!

Passo 3

Derivando uma vez termo a termo,
f'(x) =ddxexp(-x^2) =sumn=1^infty(-1)^n,2n,x^2n-1n!
Em forma fechada sabemos também que
f'(x)=-2x,e^-x^2

Passo 4

Derivando de novo termo a termo,
f''(x) =sumn=1^infty(-1)^n,2n(2n-1),x^2n-2n!
E em forma fechada
f''(x) =ddxl(-2x,e^-x^2r) =2,(2x^2-1),e^-x^2

Passo 5

Definimos
S=sumn=1^infty(-1)^n+1(2n+1)n!,2^n =2sumn=1^infty(-1)^n+1nn!,2^n +sumn=1^infty(-1)^n+1n!,2^n =2A+B

Passo 6

Para A avaliamos f'(1/raiz2). Em série:
f'(1/raiz2) =sumn=1^infty(-1)^n,2n,(1/raiz2)^2n-1n! =raiz2sumn=1^infty(-1)^n,2nn!,2^n
Em forma fechada:
f'(1/raiz2) =-21raiz2e^-1/2 =-raiz2,e^-1/2
Logo
sumn=1^infty(-1)^n,2nn!,2^n=-e^-1/2, sumn=1^infty(-1)^n,nn!,2^n=-tfrace^-1/22,
e como (-1)^n+1=-(-1)^n,
A =sumn=1^infty(-1)^n+1nn!,2^n =-sumn=1^infty(-1)^n nn!,2^n =e^-1/22
Para B usamos
sumn=0^infty(-1)^nn!,2^n=e^-1/2,
então
B =sumn=1^infty(-1)^n+1n!,2^n =-l(e^-1/2-1r) =1-e^-1/2

Passo 7

Substituindo em S=2A+B:
S =2cdote^-1/22 + (1-e^-1/2) =1

Resposta

1

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