Exercício 5. Dada a função
definida por
:
a) Mostre que
é injetora.
b) Determine
e decida se
é sobrejetora.
a) Mostre que
b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
a) Mostrar que é injetora (ou seja, que se
então
).
b) Determinar (a imagem de
) e decidir se
é sobrejetora (ou seja, se a imagem é todo
).
a) Mostrar que
b) Determinar
Passo 2
Explico o que significa provar injetividade de forma prática e a técnica que vamos usar (sem pular passos): dizer que
é injetora significa provar que uma mesma imagem não pode vir de dois pontos distintos do domínio. A forma algébrica direta é assumir
e mostrar que disso segue
. Como
no domínio, podemos fazer multiplicações por
sem medo (pois esse fator nunca é zero). Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Começo assumindo que existem
com
Isso significa
Agora faço a multiplicação cruzada (técnica válida porque
e
):
Passo 4
Vou expandir os dois lados e simplificar com calma (mostrando cada termo). Expansões:
Agora igualo as duas expressões:
Observe que
e
aparecem dos dois lados, então posso cancelar esses termos, ficando:
Passo 5
Reorganizo a igualdade para juntar os termos com
de um lado e com
do outro. Subtraio
e adiciono
em ambos os lados (ou mais direto, trago todas as
para a esquerda e todas as
para a direita):
o que é
Dividindo por
(válido porque
) obtemos
Isso mostra exatamente que, se
, então
. Logo
é injetora.
Passo 6
Agora determinamos a imagem
. A técnica padrão é resolver a equação
para
em função de
, ou seja, ver para quais
existe
tal que
Multiplico ambos os lados por
(novamente válido porque
):
Isso dá
Agrupando os termos com
:
Factorando
no lado esquerdo:
Passo 7
Agora isolamos
. Se
(ou seja,
), podemos dividir por
e obter
Esse
é um número real e precisamos checar se ele é diferente de
(pois
não pertence ao domínio). Vamos verificar: suponha que
. Então
, o que implica
, contradição. Logo o
obtido nunca é
. Portanto para todo
existe um
dado por
tal que
. Isso mostra que todo
está na imagem de
.
Passo 8
Resta analisar o caso
. Coloco
na equação original:
Multiplicando,
Subtraindo
dos dois lados obtemos
, que é impossível. Portanto não existe
com
. Ou seja,
não pertence à imagem.
Passo 9
Concluímos que a imagem é exatamente todos os reais exceto
:
Como o contradomínio (o conjunto de chegada dado no enunciado) é
e a imagem não contém o número
, a função não é sobrejetora.
Resposta
a)
é injetora.
b) . Logo
não é sobrejetora.
b)