Exercício 5. Dada a função f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\frac{3 x+1}{x-1} :
a) Mostre que f é injetora.
b) Determine \operatorname{Im} f e decida se f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{3x+1}{x-1}.
As perguntas são:
a) Mostrar que f é injetora (ou seja, que se f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2).
b) Determinar \operatorname{Im} f (a imagem de f) e decidir se f é sobrejetora (ou seja, se a imagem é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Explico o que significa provar injetividade de forma prática e a técnica que vamos usar (sem pular passos): dizer que f é injetora significa provar que uma mesma imagem não pode vir de dois pontos distintos do domínio. A forma algébrica direta é assumir f(x_1)=f(x_2) e mostrar que disso segue x_1=x_2. Como x\neq1 no domínio, podemos fazer multiplicações por x-1 sem medo (pois esse fator nunca é zero). Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Começo assumindo que existem x_1,x_2\in\mathbb{R}\setminus\{1\} com
f(x_1)=f(x_2).
Isso significa
\frac{3x_1+1}{x_1-1}=\frac{3x_2+1}{x_2-1}.
Agora faço a multiplicação cruzada (técnica válida porque x_1-1\neq0 e x_2-1\neq0):
(3x_1+1)(x_2-1)=(3x_2+1)(x_1-1).

Passo 4

Vou expandir os dois lados e simplificar com calma (mostrando cada termo). Expansões:
(3x_1+1)(x_2-1)=3x_1x_2-3x_1+x_2-1,
(3x_2+1)(x_1-1)=3x_1x_2-3x_2+x_1-1.
Agora igualo as duas expressões:
3x_1x_2-3x_1+x_2-1 = 3x_1x_2-3x_2+x_1-1.
Observe que 3x_1x_2 e -1 aparecem dos dois lados, então posso cancelar esses termos, ficando:
-3x_1+x_2 = -3x_2+x_1.

Passo 5

Reorganizo a igualdade para juntar os termos com x_1 de um lado e com x_2 do outro. Subtraio x_1 e adiciono 3x_1 em ambos os lados (ou mais direto, trago todas as x_1 para a esquerda e todas as x_2 para a direita):
-3x_1 - x_1 = -3x_2 - x_2,
o que é
-4x_1 = -4x_2.
Dividindo por -4 (válido porque -4\neq0) obtemos
x_1 = x_2.
Isso mostra exatamente que, se f(x_1)=f(x_2), então x_1=x_2. Logo f é injetora.

Passo 6

Agora determinamos a imagem \operatorname{Im} f. A técnica padrão é resolver a equação y=f(x) para x em função de y, ou seja, ver para quais y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} tal que
y=\frac{3x+1}{x-1}.
Multiplico ambos os lados por x-1 (novamente válido porque x\neq1):
y(x-1)=3x+1.
Isso dá
yx - y = 3x + 1.
Agrupando os termos com x:
yx - 3x = y + 1.
Factorando x no lado esquerdo:
x(y-3) = y+1.

Passo 7

Agora isolamos x. Se y-3\neq0 (ou seja, y\neq3), podemos dividir por y-3 e obter
x = \frac{y+1}{y-3}.
Esse x é um número real e precisamos checar se ele é diferente de 1 (pois 1 não pertence ao domínio). Vamos verificar: suponha que \frac{y+1}{y-3}=1. Então y+1=y-3, o que implica 1=-3, contradição. Logo o x obtido nunca é 1. Portanto para todo y\neq3 existe um x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} dado por x=(y+1)/(y-3) tal que f(x)=y. Isso mostra que todo y\neq3 está na imagem de f.

Passo 8

Resta analisar o caso y=3. Coloco y=3 na equação original:
3=\frac{3x+1}{x-1}.
Multiplicando,
3(x-1)=3x+1 \quad\Rightarrow\quad 3x-3 = 3x+1.
Subtraindo 3x dos dois lados obtemos -3=1, que é impossível. Portanto não existe x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} com f(x)=3. Ou seja, 3 não pertence à imagem.

Passo 9

Concluímos que a imagem é exatamente todos os reais exceto 3:
\operatorname{Im} f = \mathbb{R}\setminus\{3\}.
Como o contradomínio (o conjunto de chegada dado no enunciado) é \mathbb{R} e a imagem não contém o número 3, a função não é sobrejetora.

Resposta

a) f é injetora.
b) \operatorname{Im} f = \mathbb{R}\setminus\{3\}. Logo f não é sobrejetora.

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