Exercício 7. Para cada par de funções f e g a seguir, determine o domínio e as expressões de f \circ g e g \circ f.
f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\cos (x), g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede duas coisas: o domínio e as expressões das composições f\circ g e g\circ f.
Informações fornecidas:
f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R} dada por f(x)=\cos(x).\n
g:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R} dada por g(x)=\sqrt{x}.
Observação sobre a notação: como g(x)=\sqrt{x} exige x\ge 0, vou interpretar \mathbb{R}^{+} aqui como o conjunto [0,\infty), que é o domínio natural de g (se o exercício usou \mathbb{R}^{+} para denotar (0,\infty) então haveria apenas uma pequena mudança nos pontos onde \cos x=0; eu sigo a interpretação mais comum neste contexto: [0,\infty)).

Passo 2

Lembrando a definição e a regra prática para domínio de composição: a composição f\circ g é a função definida por
(f\circ g)(x)=f(g(x))
sempre que x pertencer ao domínio de g e, além disso, g(x) pertença ao domínio de f. Ou seja, o domínio de f\circ g é
\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Analogamente, o domínio de g\circ f é
\{x\in\operatorname{dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{dom}(g)\}.
Vou aplicar esta regra passo a passo às duas composições.

Passo 3

Domínio e expressão de f\circ g.
Sabemos \operatorname{dom}(g)=[0,\infty) e \operatorname{dom}(f)=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Para que f(g(x)) esteja bem definida precisamos que g(x)=\sqrt{x} pertença a \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Primeiro note que \sqrt{x}\ge 0 para todo x\in[0,\infty), então a condição \sqrt{x}\ge -\frac{\pi}{2} é sempre satisfeita (pois -\frac{\pi}{2}<0). A condição relevante é
\sqrt{x}\le \frac{\pi}{2}.
Como \sqrt{x} é não negativa, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem trocar desigualdade, obtendo
x \le \left(\frac{\pi}{2}\right)^2.
Juntando com x\ge 0 isso dá o domínio
\operatorname{dom}(f\circ g) = \left[0,\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right].
A expressão da composição é direta, substituindo g(x) em f:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\cos\big(\sqrt{x}\big),
válida para x\in\left[0,\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right].

Passo 4

Domínio e expressão de g\circ f.
Agora \operatorname{dom}(f)=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Para g(f(x)) estar bem definida precisamos que f(x)=\cos(x) pertença a [0,\infty) (o domínio de g). Como \cos(x) toma valores no intervalo [-1,1], a condição \cos(x)\ge 0 é a que precisamos verificar.
Vamos analisar \cos(x) no intervalo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Geometricamente, pensando no círculo trigonométrico, para ângulos entre -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2} a coordenada x do ponto sobre o círculo (que é \cos(x)) é não negativa. Em termos familiares: \cos\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=0, \cos(0)=1, \cos\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 e entre esses valores \cos(x)>0. Portanto
\cos(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Assim a condição f(x)\in\operatorname{dom}(g) é satisfeita para todo x do domínio de f, e
\operatorname{dom}(g\circ f)=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
A expressão da composição é:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\sqrt{\cos(x)},
válida para x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] porque aí \cos(x)\ge 0.

Passo 5

Comentários importantes e cuidado com extremos: a inclusão de x=\pm\frac{\pi}{2} no domínio de g\circ f depende de que g aceite 0. Eu adotei \operatorname{dom}(g)=[0,\infty), portanto \cos(\pm\frac{\pi}{2})=0 é permitido e os extremos pertencem ao domínio. Se alguém interpretasse \mathbb{R}^{+} estritamente como (0,\infty), então os extremos \pm\frac{\pi}{2} seriam excluídos do domínio de g\circ f. No entanto, seguindo a interpretação usual para a função raiz quadrada, mantemos 0 no domínio de g.

Resposta

Domínio de f\circ g: \left[0,\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2\right]. Expressão: (f\circ g)(x)=\cos\big(\sqrt{x}\big) para x\in\left[0,\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2\right].\n
Domínio de g\circ f: \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]. Expressão: (g\circ f)(x)=\sqrt{\cos(x)} para x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].

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