Exercício 7. Para cada par de funções
e
a seguir, determine o domínio e as expressões de
e
.
dada por
,
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede duas coisas: o domínio e as expressões das composições
e
.
Informações fornecidas:
dada por
.\n
dada por
.
Observação sobre a notação: como
exige
, vou interpretar
aqui como o conjunto
, que é o domínio natural de
(se o exercício usou
para denotar
então haveria apenas uma pequena mudança nos pontos onde
; eu sigo a interpretação mais comum neste contexto:
).
Passo 2
Lembrando a definição e a regra prática para domínio de composição: a composição
é a função definida por
sempre que
pertencer ao domínio de
e, além disso,
pertença ao domínio de
. Ou seja, o domínio de
é
Analogamente, o domínio de
é
Vou aplicar esta regra passo a passo às duas composições.
Passo 3
Domínio e expressão de
.
Sabemos
e
. Para que
esteja bem definida precisamos que
pertença a
.
Primeiro note que
para todo
, então a condição
é sempre satisfeita (pois
). A condição relevante é
Como
é não negativa, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem trocar desigualdade, obtendo
Juntando com
isso dá o domínio
A expressão da composição é direta, substituindo
em
:
válida para
.
Passo 4
Domínio e expressão de
.
Agora
. Para
estar bem definida precisamos que
pertença a
(o domínio de
). Como
toma valores no intervalo
, a condição
é a que precisamos verificar.
Vamos analisar
no intervalo
. Geometricamente, pensando no círculo trigonométrico, para ângulos entre
e
a coordenada
do ponto sobre o círculo (que é
) é não negativa. Em termos familiares:
,
,
e entre esses valores
. Portanto
Assim a condição
é satisfeita para todo
do domínio de
, e
A expressão da composição é:
válida para
porque aí
.
Passo 5
Comentários importantes e cuidado com extremos: a inclusão de
no domínio de
depende de que
aceite
. Eu adotei
, portanto
é permitido e os extremos pertencem ao domínio. Se alguém interpretasse
estritamente como
, então os extremos
seriam excluídos do domínio de
. No entanto, seguindo a interpretação usual para a função raiz quadrada, mantemos
no domínio de
.
Resposta
Domínio de
:
. Expressão:
para
.\n
Domínio de :
. Expressão:
para
.
Domínio de