Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}\rho_{1}(x, y, z)=z-x^{2}-y^{2}=0 \\\ \rho_{2}(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-4 \leq 0\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \Sigma\subset\mathbb{R}^3 definido por duas condições
\rho_{1}(x,y,z)=z - x^{2}-y^{2}=0 \quad\text{e}\quad \rho_{2}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-4\le 0.
Precisamos dar
  • a forma analítica completa de \Sigma, isto é, escrevê-lo como um conjunto em notação “ \{\dots\}”;
  • a forma geométrica, descrevendo que figura em \mathbb{R}^3 ele representa.

Passo 2

A forma analítica completa obtém-se combinando as duas condições em uma só:
\Sigma =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z = x^2 + y^2,\;x^2 + y^2 \le 4\bigr\}.

Passo 3

Para a descrição geométrica, note que \rho_{1}=0 define o paraboloide de revolução
z = x^2 + y^2,
aberto para cima, e \rho_{2}\le0 define o cilindro circular de raio 2
x^2 + y^2 \le 4
ao longo do eixo z.
Logo, \Sigma é justamente a porção desse paraboloide contida dentro do cilindro, desde o vértice (0,0,0) até a circunferência de raio 2 na altura z=4.

Resposta

Forma analítica completa:
\Sigma =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z = x^2 + y^2,\;x^2 + y^2 \le 4\bigr\}.
Forma geométrica: a porção do paraboloide z = x^2 + y^2 limitada pelo cilindro de raio 2, ou seja, o “chapéu” do paraboloide que vai do vértice até a circunferência de raio 2 em z=4.

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