Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \\\ (x, y) \in[0,2] \times[0,2]\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado define \Sigma:\begin{cases}z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\\(x,y)\in[0,2]\times[0,2]\end{cases}
ou seja, \Sigma é o gráfico da função
f\colon[0,2]\times[0,2]\to\mathbb R,\quad f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}.
Precisamos dar (a) a forma analítica completa de \Sigma em \mathbb R^3 e (b) descrevê-la geometricamente.)

Passo 2

Forma analítica completa:
I. Como conjunto de pontos em \mathbb R^3:
\Sigma=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;0\le x\le2,\;0\le y\le2\bigr\}.
II. Em forma implícita usando F(x,y,z)=0:
\Sigma=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid F(x,y,z)=z-(x-1)^{2}-(y-1)^{2}=0,\; (x,y)\in[0,2]\times[0,2]\bigr\}.
III. Em forma paramétrica:
\Sigma=\bigl\{(u,v,w)\in\mathbb R^3\mid u=x,\;v=y,\;w=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;(x,y)\in[0,2]\times[0,2]\bigr\}.
Ou, renomeando parâmetros:
\Sigma=\bigl\{(u,v,(u-1)^{2}+(v-1)^{2})\mid0\le u\le2,\;0\le v\le2\bigr\}.

Passo 3

Descrição geométrica: \Sigma é uma porção de paraboloide elíptico (na verdade, circular) de vértice em (1,1,0) e eixo paralelo ao eixo z. Sobre cada ponto (x,y)\in[0,2]\times[0,2] no plano xy a altura é dada pela distância ao ponto (1,1) ao quadrado. Assim,
  • O vértice do paraboloide fica em (1,1,0).
  • As curvas de nível no plano xy são círculos centrados em (1,1).
  • Como (x,y) varia num quadrado de lado 2, \Sigma é a “tampa” desse paraboloide acima do quadrado [0,2]\times[0,2], resultando num pedaço compacto de superfície.

Resposta

Forma analítica completa:
\Sigma=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;0\le x\le2,\;0\le y\le2\bigr\}.
Forma geométrica:
Porção de paraboloide circular de vértice em (1,1,0) e eixo paralelo a z, restrito ao quadrado [0,2]\times[0,2] no plano xy.

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