Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \\\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado define \Sigma:\{\,z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\le1\}
no espaço \mathbb{R}^{3}. O conteúdo envolve representação de superfícies em \mathbb{R}^{3} e restrição por desigualdade. Vamos obter a forma analítica completa (reunindo igualdade e desigualdade) e depois descrevê-la geometricamente.

Passo 2

A forma analítica completa em \mathbb{R}^{3} é
\Sigma = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\le1\}.

Passo 3

Geométrica­mente,
z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} é um paraboloide de revolução com vértice em (1,1,0) e eixo paralelo a z.
– A condição (x-1)^{2}+(y-1)^{2}\le1 restringe ao interior de um cilindro circular de raio 1 centrado em (1,1) no plano xy.
Logo, \Sigma é a porção (calota) desse paraboloide desde o vértice até a altura z=1.

Resposta

Forma analítica completa:
\Sigma = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\le1\}.
Descrição geométrica: \Sigma é a parte do paraboloide de revolução z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} com vértice em (1,1,0), limitada por um cilindro de raio 1 centrado em (1,1) no plano xy; ou seja, o “chapéu” do paraboloide até z=1.

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