Exercício 3) Dado o conjunto
descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
por
e pede duas descrições:
• Forma analítica completa.
• Descrição geométrica.
Para isso vamos interpretar cada desigualdade e usar coordenadas cilíndricas.
• Forma analítica completa.
• Descrição geométrica.
Para isso vamos interpretar cada desigualdade e usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A desigualdade
descreve o interior de um cilindro circular reto de raio
cujo eixo é o eixo
.
A desigualdade impõe que o ponto esteja acima do plano
(semiespaço superior) e abaixo da superfície dada por
, que é um cone reto de vértice na origem e semi‐abertura de
.
A desigualdade
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas definimos
com
,
.
Então
Então
A condição
torna‐se
Passo 4
A forma analítica completa em coordenadas cartesianas e cilíndricas fica:
ou, equivalentemente,
Passo 5
Geometricamente,
é o sólido situado
– acima do plano ,
– dentro do cilindro de raio ,
– abaixo do cone reto (ou
).
Trata‐se, portanto, do interior de um cone circular reto de vértice na origem, altura (pois quando
temos
) e raio da base igual a
.
– acima do plano
– dentro do cilindro de raio
– abaixo do cone reto
Trata‐se, portanto, do interior de um cone circular reto de vértice na origem, altura
Resposta
Forma analítica completa:
Descrição geométrica: é o sólido interno a um cone circular reto de vértice na origem e semi‐abertura
, cortado pelo plano
e pelo cilindro de raio
.