Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\\ x^{2}+y^{2} \leq 4\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado define o conjunto \Sigma\subset\mathbb{R}^3 por
\begin{cases} 0 \le z \le \sqrt{x^2+y^2},\\\ x^2+y^2 \le 4, \end{cases}
e pede duas descrições:
• Forma analítica completa.
• Descrição geométrica.
Para isso vamos interpretar cada desigualdade e usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A desigualdade x^2+y^2\le4 descreve o interior de um cilindro circular reto de raio 2 cujo eixo é o eixo z.
A desigualdade 0\le z\le\sqrt{x^2+y^2} impõe que o ponto esteja acima do plano z=0 (semiespaço superior) e abaixo da superfície dada por z=\sqrt{x^2+y^2}, que é um cone reto de vértice na origem e semi‐abertura de 45^\circ.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\ge0, 0\le\theta<2\pi.
Então
\sqrt{x^2+y^2}=r \quad\text{e}\quad x^2+y^2\le4\;\Longleftrightarrow\;r\le2.
A condição 0\le z\le\sqrt{x^2+y^2} torna‐se
0\le z\le r.

Passo 4

A forma analítica completa em coordenadas cartesianas e cilíndricas fica:
\Sigma =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2\le4,\;0\le z\le\sqrt{x^2+y^2}\bigr\}
ou, equivalentemente,
\Sigma =\bigl\{(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\mid 0\le r\le2,\;0\le\theta<2\pi,\;0\le z\le r\bigr\}.

Passo 5

Geometricamente, \Sigma é o sólido situado
– acima do plano z=0,
– dentro do cilindro de raio 2,
– abaixo do cone reto z=r (ou z=\sqrt{x^2+y^2}).
Trata‐se, portanto, do interior de um cone circular reto de vértice na origem, altura 2 (pois quando r=2 temos z\le2) e raio da base igual a 2.

Resposta

Forma analítica completa:
\Sigma =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2\le4,\;0\le z\le\sqrt{x^2+y^2}\bigr\} =\bigl\{(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\mid 0\le r\le2,\;0\le\theta<2\pi,\;0\le z\le r\bigr\}.
Descrição geométrica: é o sólido interno a um cone circular reto de vértice na origem e semi‐abertura 45^\circ, cortado pelo plano z=0 e pelo cilindro de raio 2.

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