Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}} \\\ (x, y) \in[0,2] \times[0,2]\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \Sigma\) definido por \[\Sigma:\begin{cases} z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}},\\\ (x,y)\in[0,2]\times[0,2]. \end{cases}
Queremos descrever \Sigma\] de forma analítica completa (equação implícita em \(\mathbb{R}^3 com todas as condições) e de forma geométrica. Para isso vamos reconhecer a superfície dada e incorporar o domínio no plano xy.

Passo 2

Para a descrição analítica completa, note que a raiz quadrada impõe z\ge0 e podemos elevar ao quadrado a relação para obter
z^{2}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}.

Passo 3

Assim, escrevemos
\Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le2,\;z^{2}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;z\ge0\}.

Passo 4

Para a descrição geométrica, reconhecemos que
z^{2}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}
é a equação de um cone circular reto de vértice em (1,1,0), eixo paralelo ao eixo z e semiângulo de abertura 45^\circ (porque a geratriz faz 45^\circ com o plano xy).

Passo 5

Como (x,y) varia apenas em [0,2]\times[0,2], \Sigma é justamente a porção desse cone cuja projeção no plano xy é o quadrado de vértices (0,0), (2,0), (0,2), (2,2).

Resposta

Descrição analítica completa:
\Sigma = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le2,\;z^{2}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2},\;z\ge0\}.
Descrição geométrica: \Sigma é a parte do cone circular reto de vértice em (1,1,0), eixo paralelo ao eixo z e semiângulo de abertura de 45^\circ, limitada pela projeção do quadrado [0,2]\times[0,2] no plano xy.

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