Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica. \Sigma:\left\{\begin{array}{l}z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \\\ \frac{1}{2} \leq(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\end{array} \quad\right..
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto \Sigma\subset\mathbb{R}^3 definido pela superfície paraboloide
z=(x-1)^2+(y-1)^2
com a condição
\frac{1}{2}\le (x-1)^2+(y-1)^2\le 1.
O objetivo é apresentar
a descrição analítica completa, usando tanto notação de conjunto quanto parametrização, e
a descrição geométrica dessa região em espaço.
Passo 2
Para a forma analítica completa, primeiro escrevemos em notação de conjunto:
obtém-se uma parametrização que gera exatamente \Sigma.
Passo 3
Geométricamente, z=(x-1)^2+(y-1)^2 é um paraboloide de revolução com vértice em (1,1,0). A condição \tfrac12\le(x-1)^2+(y-1)^2\le1 corresponde a um anel circular na projeção no plano xy (centro em (1,1), raios interior \sqrt{\tfrac12} e exterior 1). Portanto, \Sigma é a “faixa” desse paraboloide limitada pelos planos horizontais z=\tfrac12 e z=1.