Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}z=(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \\\ \frac{1}{2} \leq(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \Sigma\subset\mathbb{R}^3 definido pela superfície paraboloide
z=(x-1)^2+(y-1)^2
com a condição
\frac{1}{2}\le (x-1)^2+(y-1)^2\le 1.
O objetivo é apresentar
  1. a descrição analítica completa, usando tanto notação de conjunto quanto parametrização, e
  2. a descrição geométrica dessa região em espaço.

Passo 2

Para a forma analítica completa, primeiro escrevemos em notação de conjunto:
\Sigma =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=(x-1)^2+(y-1)^2 \\ \text{e}\\ \tfrac12\le(x-1)^2+(y-1)^2\le1\bigr\}.
Em seguida, usamos coordenadas polares centradas em (1,1). Definindo
x=1+r\cos\theta,\quad y=1+r\sin\theta,\quad z=r^2,
com
r\in\bigl[\sqrt{\tfrac12},1\bigr],\quad \theta\in[0,2\pi),
obtém-se uma parametrização que gera exatamente \Sigma.

Passo 3

Geométrica­mente, z=(x-1)^2+(y-1)^2 é um paraboloide de revolução com vértice em (1,1,0). A condição \tfrac12\le(x-1)^2+(y-1)^2\le1 corresponde a um anel circular na projeção no plano xy (centro em (1,1), raios interior \sqrt{\tfrac12} e exterior 1). Portanto, \Sigma é a “faixa” desse paraboloide limitada pelos planos horizontais z=\tfrac12 e z=1.

Resposta

A forma analítica completa está dada por
\Sigma =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=(x-1)^2+(y-1)^2,\\ \tfrac12\le(x-1)^2+(y-1)^2\le1\bigr\}
ou, em parametrização,
\begin{cases} x=1+r\cos\theta,\\\ y=1+r\sin\theta,\\\ z=r^2, \end{cases} \quad r\in\bigl[\sqrt{\tfrac12},1\bigr],\\ \theta\in[0,2\pi).
Geométricamente, \Sigma é a faixa anular do paraboloide de revolução z=(x-1)^2+(y-1)^2 entre os planos z=\tfrac12 e z=1.

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