Exercício 2. Demonstre que
\frac{1}{\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta}=\cos \theta-i \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o inverso de \cos\theta + i\operatorname{sen}\theta é \cos\theta - i\operatorname{sen}\theta. Vamos usar a ideia de multiplicar por conjugado em números complexos e a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1.

Passo 2

Multiplicamos o numerador e o denominador por \cos\theta - i\operatorname{sen}\theta:
\frac{1}{\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta} =\frac{\cos\theta - i\operatorname{sen}\theta}{(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta)(\cos\theta - i\operatorname{sen}\theta)} =\frac{\cos\theta - i\operatorname{sen}\theta}{\cos^2\theta - (i\operatorname{sen}\theta)^2}.
Como (i\operatorname{sen}\theta)^2=-\operatorname{sen}^2\theta, o denominador fica
\cos^2\theta - (-\operatorname{sen}^2\theta) =\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta =1.
Portanto
\frac{1}{\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta} =\cos\theta - i\operatorname{sen}\theta.

Resposta

\frac{1}{\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta} =\cos\theta - i\operatorname{sen}\theta.

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