Escreva na forma polar:
(g) \frac{1}{1-i}-\frac{1}{i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma polar o número complexo
z = \frac{1}{1 - i} \;-\;\frac{1}{i}.
O conteúdo envolvido é álgebra de números complexos (uso de conjugado e operações básicas) e conversão da forma retangular a+bi para a forma polar r(\cos\varphi + i\sin\varphi) ou re^{i\varphi}, em que
r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \varphi = \Arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).

Passo 2

Calculamos separadamente cada fração. Para
\frac{1}{1 - i}
multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1 - i:
\frac{1}{1 - i} = \frac{1 + i}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i}{1 - i^2} = \frac{1 + i}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2}.
Para
\frac{1}{i}
usamos i\cdot(-i)=1, daí
\frac{1}{i} = -\,i.
Logo
z = \frac{1 + i}{2} - \bigl(-i\bigr) = \frac{1 + i}{2} + i = \frac12 + \frac12\,i + i = \frac12 + \frac32\,i.

Passo 3

Agora temos z = a + bi com
a = \tfrac12, \quad b = \tfrac32.
Para passar à forma polar, precisamos de
r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr),
lembrando que, como a>0 e b>0, o ângulo está no primeiro quadrante.

Passo 4

Calculemos o módulo r e o argumento \varphi:
r = \sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(\tfrac32\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{9}{4}} = \sqrt{\tfrac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2},
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{\tfrac32}{\tfrac12}\Bigr) = \arctan(3).

Passo 5

Escrevendo z na forma polar, temos
z = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) \quad\text{ou}\quad z = r\,e^{i\varphi},
portanto
z = \frac{\sqrt{10}}{2}\Bigl(\cos(\arctan3) + i\sin(\arctan3)\Bigr) \quad\text{ou}\quad z = \frac{\sqrt{10}}{2}\,e^{\,i\arctan(3)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}\bigl(\cos(\arctan3) + i\sin(\arctan3)\bigr)
ou \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}\,e^{\,i\arctan(3)}.

Exercícios relacionados