Exercício 9. A densidade de energia magnética é uma grandeza importante no estudo de campos magnéticos.
a) Deduza a expressão para a densidade de energia magnética em um meio linear e isotrópico.
b) Explique o conceito de “energia armazenada” no campo magnético e discuta sua relevância para o armazenamento de energia em indutores.
c) Um indutor de 20 mH armazena uma energia de 0.5 J quando percorrido por uma corrente. Calcule a corrente que flui através do indutor.
d) Calcule a densidade de energia magnética em um ponto onde a densidade de fluxo magnético é \mathbf{B}=0.6 \mathbf{a}_{\mathbf{y}} \mathrm{T} em um meio com permeabilidade relativa \mu_{r}=500.

Passo 1

O enunciado pede quatro itens sobre energia magnética:
  • (a) deduzir a densidade de energia magnética num meio linear e isotrópico;
  • (b) explicar o conceito de “energia armazenada” no campo magnético e sua importância em indutores;
  • (c) calcular a corrente num indutor de 20\\ \mathrm{mH} que armazena 0,5\\ \mathrm{J};
  • (d) determinar a densidade de energia magnética num ponto onde \mathbf{B}=0,6\,\mathbf{a}_y\\ \mathrm{T} em meio com \mu_r=500.
    Conteúdo necessário: relação \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, definição diferencial de energia \delta W'=\mathbf{H}\cdot\delta\mathbf{B} e fórmula de energia em indutores W=\tfrac12Li^2.

Passo 2

Derivimos a densidade de energia a partir do trabalho por volume para montar o campo. Numa região onde cresce \mathbf{B} de zero a \mathbf{B}, o trabalho por volume é
u_m \;=\;\int_{0}^{\mathbf{B}}\mathbf{H}\,\cdot d\mathbf{B}
Como o meio é linear e isotrópico, \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H}, logo \mathbf{H}=\tfrac{\mathbf{B}}{\mu}. Substituindo em integral escalar (tomando módulos),
u_m \;=\;\int_{0}^{B}\frac{B'}{\mu}\,dB' \;=\;\frac{1}{\mu}\,\frac{B^2}{2} \;=\;\frac{B^2}{2\mu}.

Passo 3

Energia armazenada no campo magnético significa que, à medida que a corrente num indutor varia de zero até i, o campo magnético cresce e realiza trabalho contra a força eletromotriz de autoindução. Esse trabalho não some: fica “guardado” no espaço em torno do indutor sob forma de energia potencial magnética. Em circuitos, isso permite suavizar variações de corrente, armazenar energia em fontes comutadas e fornecer picos de energia quando a corrente decai. Para um indutor de indutância L, a energia total armazenada é
W \;=\;\frac12\,L\,i^2.

Passo 4

Queremos a corrente i num indutor de L=20\\ \mathrm{mH}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{H} que armazena W=0,5\\ \mathrm{J}. De
W=\frac12\,L\,i^2
segue
i \;=\;\sqrt{\frac{2W}{L}} \;=\;\sqrt{\frac{2\cdot0,5}{20\times10^{-3}}} \;=\;\sqrt{50} \;\approx\;7,07\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Em (d), usamos
u_m=\frac{B^2}{2\mu}, \quad \mu=\mu_0\,\mu_r, \quad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \quad \mu_r=500.
Logo
\mu=4\pi\times10^{-7}\times500=2\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{H/m}
e com B=0,6\\ \mathrm{T}:
u_m =\frac{(0,6)^2}{2\cdot2\pi\times10^{-4}} =\frac{0,36}{4\pi\times10^{-4}} =\frac{900}{\pi} \approx286{,}5\\ \mathrm{J/m^3}.

Resposta

a) \displaystyle u_m=\frac{B^2}{2\mu}.
b) A energia armazenada é o trabalho feito para estabelecer o campo magnético contra a fem de autoindução; em indutores ela fica guardada como energia potencial magnética, vital para filtragem, conversão de energia e estabilidade de corrente.
c) \displaystyle i=\sqrt{\frac{2W}{L}}=\sqrt{\frac{2\cdot0,5}{20\times10^{-3}}}\approx7{,}07\\ \mathrm{A}.
d) \displaystyle u_m=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{(0,6)^2}{2\cdot(4\pi\times10^{-7}\cdot500)}\approx286{,}5\\ \mathrm{J/m^3}.

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