Exercício 7. Considere a interface entre dois meios magnéticos diferentes.
a) Cite e explique as condições de fronteira para a componente normal da densidade de fluxo magnético (B) e para a componente tangencial da intensidade do campo magnético (H) na interface entre dois meios sem corrente de superfície.
b) Qual a importância prática das condições de fronteira para \mathbf{B} e \mathbf{H} no projeto de dispositivos magnéticos, como transformadores e máquinas elétricas?
c) Uma interface plana separa dois meios. O Meio 1\left(\mu_{r 1}=4\right) tem um campo magnético \mathbf{H}_{\mathbf{1}}=\left(2 \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+3 \mathbf{a}_{\mathbf{y}}-4 \mathbf{a}_{\mathbf{z}}\right) \mathrm{A} / \mathrm{m}. A normal à interface aponta na direção +\mathbf{a}_{\mathbf{z}}. Calcule a componente normal de \mathbf{B}_{1} na interface.
d) Para o cenário do item (c), se não houver corrente de superfície na interface, determine a componente tangencial de \mathbf{H}_{2} no Meio 2\left(\mu_{r 2}=10\right).

Passo 1

O enunciado trata das condições de contorno em magnetostática na interface entre dois meios magnéticos diferentes, sem corrente de superfície. Vamos usar dois fatos fundamentais do eletromagnetismo:
1. A lei de Gauss para o campo magnético:
\nabla\cdot \mathbf{B}=0
2. A lei de Ampère (sem correção de Maxwell) para a intensidade de campo magnético:
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I_{\text{livre,encl}}
Com isso, obteremos as condições de continuidade para a componente normal de \mathbf{B} e para a componente tangencial de \mathbf{H}.

Passo 2

Condição de fronteira para a componente normal de \mathbf{B}:
Pela lei de Gauss para \mathbf{B}, escolhendo um “diddelinha” gaussiana que cruza a interface com faces planas paralelas à interface, temos fluxo zero em todo o volume. No limite em que a espessura vai a zero fica:
B_{1n}=B_{2n}.
Explicação: não há “carga magnética”, logo o fluxo de \mathbf{B} é contínuo de um meio para o outro.

Passo 3

Condição de fronteira para a componente tangencial de \mathbf{H}:
Aplicando a lei de Ampère em um laço retangular que cruza a interface e fazendo a altura do laço tender a zero, e assumindo ausência de corrente de superfície, obtemos
H_{1t}=H_{2t}.
Explicação: sem corrente livre na superfície, o campo tangencial de \mathbf{H} não sofre salto.

Passo 4

Cálculo da componente normal de \mathbf{B}_1 na interface (item c):
O meio 1 tem \mu_{r1}=4 e \mathbf{H}_1=2\,\mathbf{a}_x+3\,\mathbf{a}_y-4\,\mathbf{a}_z,A/m.
A normal à interface é +\mathbf{a}_z, então
H_{1n}=\mathbf{H}_1\cdot\mathbf{a}_z=-4\;\text{A/m}.
Como \mathbf{B}_1=\mu_0\mu_{r1}\mathbf{H}_1,
B_{1n}=\mu_0\mu_{r1}\,H_{1n} =\mu_0\cdot4\cdot(-4) =-16\,\mu_0\quad(\text{T}).

Passo 5

Determinação da componente tangencial de \mathbf{H}_2 no meio 2 (item d):
Não há corrente de superfície, então
\mathbf{H}_{2t}=\mathbf{H}_{1t}.
A parte tangencial de \mathbf{H}_1 é a projeção no plano xy:
\mathbf{H}_{1t}=2\,\mathbf{a}_x+3\,\mathbf{a}_y.
Logo
\mathbf{H}_{2t}=2\,\mathbf{a}_x+3\,\mathbf{a}_y\quad(\text{A/m}).

Resposta

c) B_{1n}=-16\,\mu_0 (T)
d) \mathbf{H}_{2t}=2\,\mathbf{a}_x+3\,\mathbf{a}_y (A/m)

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