Exercício 6. Derive
y=\ln \left(1+x^{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = \ln\bigl(1 + x^{x}\bigr).
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia para o logaritmo natural e, em seguida, derivar a função x^{x} usando reescrita em forma exponencial.

Passo 2

Definimos
u = 1 + x^{x},
de modo que y = \ln(u).
Pela regra da cadeia,
y' = \frac{u'}{u}.

Passo 3

Calculemos u'. A derivada de 1 é zero, resta derivar x^{x}. Escrevemos
x^{x} = e^{\,x\ln x}
e usamos a regra da cadeia em e^{\,x\ln x}:
\frac{d}{dx}x^{x} = \frac{d}{dx}e^{\,x\ln x} = e^{\,x\ln x}\,\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
Logo,
u' = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 4

Substituindo u e u' em y' = u'/u, obtemos
y' = \frac{x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr)}{1 + x^{x}}.

Resposta

y' = \frac{x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr)}{1 + x^{x}}.

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