Exercício 6 Determine o conjunto dos pontos onde fé continua.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar onde a função $ f(x) $ é contínua. A função é definida assim:
A matéria envolvida aqui é o estudo de continuidade de funções. Para resolver, vamos verificar a continuidade da função em todos os pontos, especialmente onde ela muda de definição, que no caso é em $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, $ f(x) $ é contínua em $ a $ se três condições forem atendidas:
- $ f(a) $ está definida.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade da função em todos os pontos diferentes de $ 0 $. Para $ x \neq 0 $, a função é dada por $ \frac{x^{3} \sin\left(\frac{1}{|x|}\right)}{|x|} $. Sabemos que funções envolvendo polinômios, seno e valores absolutos são contínuas onde estão definidas, desde que não haja divisões por zero ou outros problemas. Como $ x \neq 0 $, não temos divisão por zero, e a função é contínua nesses pontos.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em $ x = 0 $. Temos que:
- $ f(0) = 0 $.
Precisamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ 0 $:
Simplificando, podemos reescrever a expressão como:
Passo 5
Sabemos que o seno está limitado entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por $ x^{2} $, que é sempre positivo, temos:
Agora, aplicamos o teorema do Sanduíche (ou Teorema das Convergências), que diz que se duas funções “sanduicham” uma terceira e ambas convergem para o mesmo limite, então a função no meio também converge para esse limite.
Passo 6
Calculando os limites das funções externas:
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
Passo 7
Comparando com $ f(0) = 0 $, vemos que:
Isso verifica as três condições para a continuidade em $ x = 0 $.
Resposta
A função $ f(x) $ é contínua para todo $ x $ real, ou seja, em todos os pontos do conjunto $ \mathbb{R} $.