Exercício 6 Determine o conjunto dos pontos onde fé continua.
f(x)= x^3 sen(1|x|)|x|, & se x neq 0 0, & se x=0

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar onde a função $ f(x) $ é contínua. A função é definida assim:
f(x)
A matéria envolvida aqui é o estudo de continuidade de funções. Para resolver, vamos verificar a continuidade da função em todos os pontos, especialmente onde ela muda de definição, que no caso é em $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, $ f(x) $ é contínua em $ a $ se três condições forem atendidas:
  1. $ f(a) $ está definida.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade da função em todos os pontos diferentes de $ 0 $. Para $ x \neq 0 $, a função é dada por $ \frac{x^{3} \sin\left(\frac{1}{|x|}\right)}{|x|} $. Sabemos que funções envolvendo polinômios, seno e valores absolutos são contínuas onde estão definidas, desde que não haja divisões por zero ou outros problemas. Como $ x \neq 0 $, não temos divisão por zero, e a função é contínua nesses pontos.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em $ x = 0 $. Temos que:
  • $ f(0) = 0 $.
Precisamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ 0 $:
x = 0
Simplificando, podemos reescrever a expressão como:
f(0) = 0

Passo 5

Sabemos que o seno está limitado entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin(1|x|) <= 1
Multiplicando todos os termos por $ x^{2} $, que é sempre positivo, temos:
x^2
Agora, aplicamos o teorema do Sanduíche (ou Teorema das Convergências), que diz que se duas funções “sanduicham” uma terceira e ambas convergem para o mesmo limite, então a função no meio também converge para esse limite.

Passo 6

Calculando os limites das funções externas:
limx to 0 (-x^2) = 0 e limx to 0 x^2 = 0
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
limx to 0 x^2 sin(1|x|) = 0

Passo 7

Comparando com $ f(0) = 0 $, vemos que:
f(0) = 0
Isso verifica as três condições para a continuidade em $ x = 0 $.

Resposta

A função $ f(x) $ é contínua para todo $ x $ real, ou seja, em todos os pontos do conjunto $ \mathbb{R} $.

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