Exercício 4.6.2. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
f(x, y)=3(x-1)^{2}+2(y+3)^{2}+7,(2,-2,-12)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
z = f(x,y) = 3(x-1)^{2} + 2(y+3)^{2} + 7
no ponto (2,\,-2,\,-12).

Passo 2

Para que o ponto (2,\,-2,\,-12) pertença ao gráfico de f, deve valer
f(2,-2) = -12.
Vamos calcular
f(2,-2) = 3(2-1)^{2} + 2(-2+3)^{2} + 7 = 3\cdot1^{2} + 2\cdot1^{2} + 7 = 3 + 2 + 7 = 12.

Passo 3

Como f(2,-2)=12\neq -12, o ponto dado não está sobre a superfície z = f(x,y). Sem um ponto sobre o gráfico, não faz sentido definir o plano tangente ali.

Resposta

Não é possível determinar o plano tangente, porque o ponto (2,-2,-12) não pertence à superfície z = 3(x-1)^{2} + 2(y+3)^{2} + 7.

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