Exemplo 5.1.1. Sejam f(x, y)=x y e \gamma(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right). Considere a composta F(t)= f(\gamma(t)).
  1. Calcule F(t).
  2. Calcule F^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado define a função \;f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=x\,y
e a curva \;\gamma\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 dada por
\gamma(t)=\bigl(t^3,t^2\bigr).
Pede-se a composta F(t)=f\bigl(\gamma(t)\bigr) e sua derivada F'(t). Vamos usar substituição direta e, a seguir, a regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 2

Substituindo \gamma(t) em f obtemos
F(t)=f\bigl(\gamma(t)\bigr)=\bigl(t^3\bigr)\,\bigl(t^2\bigr)=t^5.

Passo 3

Derivando diretamente F(t)=t^5 no sentido de função de uma variável, temos
F'(t)=5\,t^4.

Passo 4

Para ver que dá o mesmo resultado pela regra da cadeia em várias variáveis, note que
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)=(y,x).
Então em \gamma(t) vale \nabla f\bigl(\gamma(t)\bigr)=(t^2,t^3) e
\gamma'(t)=(3t^2,2t).
O produto escalar fica
F'(t)=\nabla f\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot\gamma'(t) = t^2\cdot(3t^2)+t^3\cdot(2t) =3t^4+2t^4=5t^4.

Resposta

F(t)=t^5
F'(t)=5t^4

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