Exercício 2.2 Determine se os limites existem.
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(5,-2)} x^{5}+4 x^{2} y-5 x y^{2}.
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
(c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
(g) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
(h) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}.
(i) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência (e, quando existir, calcular) de seis limites de funções de duas variáveis. Vamos usar três técnicas principais: continuidade de polinômios, teste de caminhos diferentes para mostrar que o limite não existe, teorema do sanduíche (squeeze) e manipulação algébrica (multiplicação pelo conjugado ou fatoração).

Passo 2

Para (a) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(5,-2)}x^{5}+4x^{2}y-5xy^{2}
essa é uma função polinomial em (x,y), e polinômios são contínuos. Logo basta substituir (x,y)=(5,-2):
5^{5}+4\cdot5^{2}\cdot(-2)-5\cdot5\cdot(-2)^{2} =3125 -200 -100 =2825.

Passo 3

Para (b) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}
testamos dois caminhos distintos.
Pela reta y=0:
\frac{x^{2}}{x^{2}+0}=1.
Pela reta y=x:
\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac12.
Como os limites não coincidem, o limite não existe.

Passo 4

Para (c) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
usamos que |xy|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}. Logo
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \le \frac{x^{2}+y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2},
e o lado direito vai a 0 quando (x,y)\to(0,0). Pelo squeeze, o limite vale 0.

Passo 5

Para (g) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}
lembre r^{2}=x^{2}+y^{2}. Então
\frac{r^{2}}{\sqrt{r^{2}+1}-1} \cdot\frac{\sqrt{r^{2}+1}+1}{\sqrt{r^{2}+1}+1} =\frac{r^{2}\bigl(\sqrt{r^{2}+1}+1\bigr)}{r^{2}} =\sqrt{r^{2}+1}+1 \to 1+1=2.

Passo 6

Para (h) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}
testamos y=kx^{2}. Então
\frac{2x^{2}(kx^{2})}{x^{4}+(kx^{2})^{2}} =\frac{2k\,x^{4}}{x^{4}(1+k^{2})} =\frac{2k}{1+k^{2}},
que depende de k. Logo o limite não existe.

Passo 7

Para (i) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
escrevemos x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}). Para (x,y)\neq(0,0) isso simplifica para
x^{2}-y^{2},
e quando (x,y)\to(0,0) claramente x^{2}-y^{2}\to0. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

(a) \,2825
(b) não existe
(c) \,0
(g) \,2
(h) não existe
(i) \,0

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