Exercício 2.3 Verifique que os limites das seguintes funções existem se (x, y) \rightarrow(0,0) :
(a) f(x, y)==\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
(b) f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os limites
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
existem. Estamos em limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta) e o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Para a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, em polares temos
x^{3}+y^{3}=r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta), \quad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
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f(r,\theta) =\frac{r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)}{r^{2}} = r\bigl(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\bigr).

Passo 3

Estimamos o valor absoluto:
\bigl|f(r,\theta)\bigr| = r\bigl|\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\bigr| \le r\bigl(|\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\bigr) \le r\bigl(|\cos\theta|+|\sin\theta|\bigr) \le 2r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue por squeez­ing que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 4

Para \displaystyle g(x,y)=\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, em polares temos
x\,y = r^{2}\cos\theta\,\sin\theta, \quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
portanto
g(r,\theta)=\frac{r^{2}\cos\theta\,\sin\theta}{r} = r\cos\theta\,\sin\theta.

Passo 5

Calculamos o módulo e estimamos:
\bigl|g(r,\theta)\bigr| = r\,|\cos\theta\,\sin\theta| \le r\cdot\frac{|\sin(2\theta)|}{2} \le \frac r2.
Como r\to0, pelo Teorema do Aperto obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = 0.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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