Exercício 6. Determine a localização y^{*} do centroide da área da seção reta da viga. Despreze as dimensões das soldas das quinas em A e B para esses cálculos

Passo 1

O enunciado pede: determinar a posição vertical do centroide da área da seção reta, chamada y^{*}. A referência para y^{*} é a linha de base na parte inferior da seção (a base da seção na figura).
Informações fornecidas (extraídas da imagem):
  • diâmetro do círculo superior: 35\\ \text{mm};
  • diâmetro do círculo inferior: 50\\ \text{mm};
  • espessura do corpo vertical (largura da alma): 15\\ \text{mm};
  • distância vertical entre os pontos de tangência da alma aos círculos (altura livre da alma): 110\\ \text{mm};
  • desprezar as dimensões das soldas em A e B, conforme instruído.
Não se resolve nada ainda neste passo — apenas listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Escolha de referência e posições geométricas (usando os dados extraídos da imagem). Vou medir y a partir do ponto mais baixo da seção (base do círculo inferior), ou seja, y=0 na base externa inferior do círculo de diâmetro 50\\ \text{mm}.
Cálculos das coordenadas verticais dos centroides das três partes (dois círculos inteiros e a alma retangular):
  • raio do círculo inferior: \,r_b=\dfrac{50}{2}=25\\ \text{mm}. Logo o centro do círculo inferior está em
y_b = r_b = 25\\ \text{mm}.
  • o ponto de tangência entre alma e círculo inferior (topo do círculo inferior) está em
y_{\text{tang,b}} = y_b + r_b = 25 + 25 = 50\\ \text{mm}.
  • a alma (retângulo) começa nesse ponto e tem altura 110\\ \text{mm}. Portanto o topo da alma (ponto de tangência com o círculo superior) está em
y_{\text{tang,t}} = y_{\text{tang,b}} + 110 = 50 + 110 = 160\\ \text{mm}.
  • raio do círculo superior: \,r_t=\dfrac{35}{2}=17{,}5\\ \text{mm}. Assim o centro do círculo superior está em
y_t = y_{\text{tang,t}} + r_t = 160 + 17{,}5 = 177{,}5\\ \text{mm}.
  • o centróide da alma (retângulo de largura b=15\\ \text{mm} e altura h=110\\ \text{mm}) está no ponto médio vertical da alma:
y_{\text{alma}} = \frac{y_{\text{tang,b}} + y_{\text{tang,t}}}{2} = \frac{50 + 160}{2} = 105\\ \text{mm}.
Resumo das coordenadas verticais dos centroides usadas a partir da base:
y_b = 25\\ \text{mm},\qquad y_{\text{alma}} = 105\\ \text{mm},\qquad y_t = 177{,}5\\ \text{mm}.

Passo 3

Fórmulas das áreas das peças e cálculo numérico (mostrando as expressões com \pi e a aproximação numérica).
Área de um círculo de diâmetro d:
A_{\text{círc}}=\frac{\pi d^{2}}{4}.í
Área do círculo superior (diâmetro 35\\ \text{mm}):
A_{t}=\frac{\pi(35)^{2}}{4}=306{,}25\pi\\ \text{mm}^{2}\approx 962{,}11\\ \text{mm}^{2}.
Área do círculo inferior (diâmetro 50\\ \text{mm}):
A_{b}=\frac{\pi(50)^{2}}{4}=625\pi\\ \text{mm}^{2}\approx 1963{,}50\\ \text{mm}^{2}.
Área da alma (retângulo de largura 15\\ \text{mm} e altura 110\\ \text{mm}):
A_{\text{alma}}=b\cdot h = 15\cdot 110 = 1650\\ \text{mm}^{2}.
Área total:
A_{\text{tot}}=A_{t}+A_{\text{alma}}+A_{b}\approx 962{,}11+1650+1963{,}50=4575{,}61\\ \text{mm}^{2}.

Passo 4

Cálculo dos momentos estáticos (primeiros momentos) em relação à base: A_i y_i para cada peça.
  • círculo superior:
A_{t}y_{t}\approx 962{,}11\times 177{,}5 = 170\,774{,}88\\ \text{mm}^{3}.
  • alma (retângulo):
A_{\text{alma}}y_{\text{alma}}=1650\times 105 = 173\,250\\ \text{mm}^{3}.
  • círculo inferior:
A_{b}y_{b}\approx 1963{,}50\times 25 = 49\,087{,}50\\ \text{mm}^{3}.
Somando os primeiros momentos:
\sum A_i y_i \approx 170\,774{,}88 + 173\,250 + 49\,087{,}50 = 393\,112{,}38\\ \text{mm}^{3}.
(Leve observação: pequenas diferenças de arredondamento podem ocorrer ao longo dos passos; os valores acima foram arredondados para duas casas decimais onde aplicável.)

Passo 5

Cálculo final do centroide vertical y^{*} pela definição de centroide de área:
y^{*}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}.
Substituindo os valores numéricos:
y^{*}\approx \frac{393\,112{,}38}{4575{,}61}\\ \text{mm}\approx 85{,}90\\ \text{mm}.
Portanto o centroide da seção está localizado a aproximadamente 85{,}90\\ \text{mm} acima da base externa inferior do círculo maior.

Resposta

y^{*}=85{,}90\\ \text{mm}

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