5.133. O eixo de aço inoxidável 304 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 60 mm . Quando gira a
, transmite 30 kW de potência do motor
para o gerador
. Determinar a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento admissível é
e o eixo está impedido de torcer mais que
.
Passo 1
O enunciado pede a menor espessura do eixo (parede do eixo oco) de aço inoxidável 304, supondo que o eixo tem diâmetro externo e pode ser oco. Os dados fornecidos são:
- Comprimento do eixo:
. - Diâmetro externo do eixo:
. - Velocidade angular:
. - Potência transmitida:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
. - O eixo não pode torcer mais do que
. - Material: aço inoxidável 304. Usar-se-á o módulo de rigidez típico
(valor padrão aproximado para aço inox 304).
Pergunta a responder: determinar a menor espessura da parede do eixo (em mm) que satisfaça simultaneamente as limitações por tensão de cisalhamento e por ângulo de torção.
Passo 2
Calcular o torque transmissível
a partir da potência e da velocidade angular. Fórmula que relaciona potência, torque e velocidade angular:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Apresentar as fórmulas essenciais (e o que cada símbolo significa), com explicação didática curta.
- Polar momento de inércia (para seção circular oca):
onde
é o diâmetro externo e
o diâmetro interno do eixo. O
mede a “resistência geométrica” à torção da seção.
- Tensão de cisalhamento máxima na superfície externa (raio externo
):
Esta fórmula vem da distribuição de tensão de cisalhamento numa seção circular sujeita a torque: a tensão é máxima na superfície externa.
- Ângulo de torção total ao longo do comprimento
(ângulo em radianos):
onde
é o módulo de rigidez. Esta fórmula resulta da integração da relação entre deformação de cisalhamento e rotação ao longo do eixo para um torque constante.
Nosso objetivo prático: determinar a menor espessura
(em m ou mm), onde
, sujeita às duas restrições
Passo 4
Determinar o requisito geométrico (valor mínimo de
) imposto pela tensão admissível.
Da desigualdade
temos:
Calcular numericamente:
Passo 5
Determinar o requisito geométrico imposto pelo limite de torção (ângulo máximo).
Da fórmula da torção
e exigindo
, obtemos:
Substituindo valores (usando
):
Comparação:
é maior que
. Portanto a restrição de ângulo de torção é a determinante (a que exige maior
). Vamos usar
para obter a espessura mínima.
Passo 6
A relação entre
e a espessura
(com
) é
Queremos o menor
tal que
. Igualando para o limite:
Isolando
:
Logo o diâmetro interno máximo permitido (para ainda satisfazer o requisito) é
Substituindo valores numéricos:
Tomando a raiz quarta:
Portanto a espessura mínima da parede é
Passo 7
Verificação rápida das duas condições com
.
- Com
a torção é exatamente o máximo permitido:
- A tensão de cisalhamento correspondente é
que é bem menor que
. Logo a restrição de tensão está satisfeita confortavelmente.