5.133. O eixo de aço inoxidável 304 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 60 mm . Quando gira a 60 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, transmite 30 kW de potência do motor E para o gerador G. Determinar a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento admissível é \tau_{\mathrm{adm}}=150 \mathrm{MPa} e o eixo está impedido de torcer mais que 0,08 \mathrm{rad}.

Passo 1

O enunciado pede a menor espessura do eixo (parede do eixo oco) de aço inoxidável 304, supondo que o eixo tem diâmetro externo e pode ser oco. Os dados fornecidos são:
  • Comprimento do eixo: L=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do eixo: D=60\\ \mathrm{mm}=0{,}060\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade angular: \omega=60\\ \mathrm{rad/s}.
  • Potência transmitida: P=30\\ \mathrm{kW}=30\,000\\ \mathrm{W}.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\mathrm{adm}}=150\\ \mathrm{MPa}=150\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • O eixo não pode torcer mais do que \theta_{\max}=0{,}08\\ \mathrm{rad}.
  • Material: aço inoxidável 304. Usar-se-á o módulo de rigidez típico \;G=77\\ \mathrm{GPa}=77\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} (valor padrão aproximado para aço inox 304).
Pergunta a responder: determinar a menor espessura da parede do eixo (em mm) que satisfaça simultaneamente as limitações por tensão de cisalhamento e por ângulo de torção.

Passo 2

Calcular o torque transmissível T a partir da potência e da velocidade angular. Fórmula que relaciona potência, torque e velocidade angular:
P = T\,\omega.
Isolando T:
T=\dfrac{P}{\omega}.
Substituindo os valores:
T=\dfrac{30\,000}{60}=500\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Apresentar as fórmulas essenciais (e o que cada símbolo significa), com explicação didática curta.
  • Polar momento de inércia (para seção circular oca):
J=\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^{4}-d^{4}\bigr),
onde D é o diâmetro externo e d o diâmetro interno do eixo. O J mede a “resistência geométrica” à torção da seção.
  • Tensão de cisalhamento máxima na superfície externa (raio externo c=D/2):
\tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}=\dfrac{T\,D}{2J}.
Esta fórmula vem da distribuição de tensão de cisalhamento numa seção circular sujeita a torque: a tensão é máxima na superfície externa.
  • Ângulo de torção total ao longo do comprimento L (ângulo em radianos):
\theta=\dfrac{T\,L}{G\,J},
onde G é o módulo de rigidez. Esta fórmula resulta da integração da relação entre deformação de cisalhamento e rotação ao longo do eixo para um torque constante.
Nosso objetivo prático: determinar a menor espessura t (em m ou mm), onde d=D-2t, sujeita às duas restrições
\tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}} \qquad\text{e}\qquad \theta\le \theta_{\max}.

Passo 4

Determinar o requisito geométrico (valor mínimo de J) imposto pela tensão admissível.
Da desigualdade \tau_{\max}\le\tau_{\mathrm{adm}} temos:
\dfrac{T D}{2J}\le \tau_{\mathrm{adm}} \quad\Rightarrow\quad J\ge \dfrac{T D}{2\,\tau_{\mathrm{adm}}}.
Calcular numericamente:
J_{\text{min, tensão}}=\dfrac{500\cdot0{,}06}{2\cdot150\times10^{6}} =\dfrac{30}{300\times10^{6}} =1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.ã

Passo 5

Determinar o requisito geométrico imposto pelo limite de torção (ângulo máximo).
Da fórmula da torção \theta=\dfrac{T L}{G J} e exigindo \theta\le\theta_{\max}, obtemos:
J\ge \dfrac{T L}{G\,\theta_{\max}}.
Substituindo valores (usando G=77\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}):
J_{\text{min, torção}}=\dfrac{500\cdot3{,}0}{77\times10^{9}\cdot0{,}08} =\dfrac{1500}{6{,}16\times10^{9}} \approx 2{,}435\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.çã
Comparação: J_{\text{min, torção}}\approx 2{,}435\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}çã é maior que J_{\text{min, tensão}}=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}ã. Portanto a restrição de ângulo de torção é a determinante (a que exige maior J). Vamos usar J_{\mathrm{req}}=J_{\text{min, torção}}çã para obter a espessura mínima.

Passo 6

A relação entre J e a espessura t (com d=D-2t) é
J=\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^{4}-(D-2t)^{4}\bigr).
Queremos o menor t tal que J\ge J_{\mathrm{req}}. Igualando para o limite:
\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^{4}-(D-2t)^{4}\bigr)=J_{\mathrm{req}}.
Isolando (D-2t)^{4}:
(D-2t)^{4}=D^{4}-\dfrac{32}{\pi}\,J_{\mathrm{req}}.
Logo o diâmetro interno máximo permitido (para ainda satisfazer o requisito) é
d_{\max}=\biggl(D^{4}-\dfrac{32}{\pi}\,J_{\mathrm{req}}\biggr)^{1/4}.
Substituindo valores numéricos:
D^{4}=(0{,}06)^{4}=1{,}296\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}},
\dfrac{32}{\pi}\,J_{\mathrm{req}}=\dfrac{32}{\pi}\cdot 2{,}435\times10^{-7}\approx 2{,}481\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}},
d_{\max}^{4}=1{,}296\times10^{-5}-2{,}481\times10^{-6}=1{,}048\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
Tomando a raiz quarta:
d_{\max}\approx 0{,}05689\\ \mathrm{m}=56{,}89\\ \mathrm{mm}.
Portanto a espessura mínima da parede é
t_{\min}=\dfrac{D-d_{\max}}{2}=\dfrac{60{,}00-56{,}89}{2}\\ \mathrm{mm}\approx 1{,}55\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação rápida das duas condições com t_{\min}.
  • Com J=J_{\mathrm{req}} a torção é exatamente o máximo permitido:
\theta=\dfrac{T L}{G J_{\mathrm{req}}}=0{,}08\\ \mathrm{rad}.
  • A tensão de cisalhamento correspondente é
\tau_{\max}=\dfrac{T D}{2J_{\mathrm{req}}} =\dfrac{500\cdot0{,}06}{2\cdot 2{,}435\times10^{-7}} \approx 61{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=61{,}6\\ \mathrm{MPa},
que é bem menor que \tau_{\mathrm{adm}}=150\\ \mathrm{MPa}. Logo a restrição de tensão está satisfeita confortavelmente.

Resposta

t_{\min}=1{,}55\\ \mathrm{mm}

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