Exercício 8 Determine a e b para que as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -9 & 5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}a & -1 \\\\ 3 & b\end{array}\right] comutem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os valores de a e b tais que
AB = BA
sendo
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[0.3em] -9 & 5\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}a & -1 \\[0.3em] 3 & b\end{pmatrix}.
O conteúdo principal é o produto de matrizes e a condição de comutatividade.]

Passo 2

Calcular AB e BA.
AB = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[0.3em] -9 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & -1 \\[0.3em] 3 & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 3\cdot 3 & 2\cdot(-1) + 3b \\[0.3em] -9a + 5\cdot 3 & -9\cdot(-1) + 5b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 9 & -2 + 3b \\[0.3em] -9a + 15 & 9 + 5b \end{pmatrix},
BA = \begin{pmatrix}a & -1 \\[0.3em] 3 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 \\[0.3em] -9 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 2 + (-1)\cdot(-9) & a\cdot 3 + (-1)\cdot 5 \\[0.3em] 3\cdot 2 + b\cdot(-9) & 3\cdot 3 + b\cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 9 & 3a - 5 \\[0.3em] 6 - 9b & 9 + 5b \end{pmatrix}.]

Passo 3

Impor AB = BA e comparar as entradas correspondentes:
( 1,1) e ( 2,2) dão identidades triviais. Das entradas ( 1,2) e ( 2,1) obtemos
-2 + 3b = 3a - 5 \quad\Longrightarrow\quad 3b = 3a - 3 \quad\Longrightarrow\quad b = a - 1,
-9a + 15 = 6 - 9b \quad\Longrightarrow\quad -9a + 15 = 6 - 9(a - 1) \quad\Longrightarrow\quad b = a - 1,
que é a mesma condição.

Resposta

A condição de comutatividade é
b = a - 1,
com a livre em \mathbb{R}.

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