Exercício 16 Considere os seguintes subconjuntos de
São
e
subespaços vetoriais de
Passo 1
O enunciado define
e
e pede para verificar quais desses conjuntos são subespaços vetoriais de .
Lembrando que um subespaço vetorial deve satisfazer três propriedades:
e
e pede para verificar quais desses conjuntos são subespaços vetoriais de
Lembrando que um subespaço vetorial deve satisfazer três propriedades:
- Conter o vetor zero.
- Ser fechado sob soma de vetores.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar real.
Passo 2
Verificando
:
– O vetor zero pertence a
pois
e
.
– Se e
estão em
, então
, logo
– O vetor zero
– Se
e
. Portanto, fechada sob soma.
– Porém, para escalar e vetor
temos
– Porém, para escalar
e claramente
, logo
.
Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar e, portanto, não é subespaço vetorial.
Assim,
Passo 3
Verificando
:
– O vetor zero satisfaz
, logo está em
.
– Para escalar arbitrário e vetor
temos
. Então
– O vetor zero
– Para escalar arbitrário
garantindo fechamento sob multiplicação por escalar.
– Entretanto, a soma pode falhar. Por exemplo,
pois
e
pois
.
Mas
– Entretanto, a soma pode falhar. Por exemplo,
Mas
e
, logo
.
Portanto, não é fechado sob soma e não é subespaço vetorial.
Portanto,