Exercício 16 Considere os seguintes subconjuntos de \mathbb{R}^{2}
\mathcal{A}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 0, y \geq 0\right\} \text { e } \mathcal{B}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y \geq 0\right\}
São
\mathcal{A} e \mathcal{B} subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado define
\mathcal{A} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\ge 0,\;y\ge 0\}
e
\mathcal{B} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\,y\ge 0\}
e pede para verificar quais desses conjuntos são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^2.
Lembrando que um subespaço vetorial deve satisfazer três propriedades:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob soma de vetores.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar real.

Passo 2

Verificando \mathcal{A}:
– O vetor zero (0,0) pertence a \mathcal{A} pois 0\ge0 e 0\ge0.
– Se (x_1,y_1) e (x_2,y_2) estão em \mathcal{A}, então x_1,x_2,y_1,y_2\ge0, logo
(x_1+x_2)\ge0,\quad (y_1+y_2)\ge0
e (x_1+x_2,y_1+y_2)\in\mathcal{A}. Portanto, fechada sob soma.
– Porém, para escalar \lambda=-1 e vetor (1,1)\in\mathcal{A} temos
(-1)\cdot(1,1)=(-1,-1),
e claramente -1<0, logo (-1,-1)\notin\mathcal{A}.
Assim, \mathcal{A} não é fechado sob multiplicação por escalar e, portanto, não é subespaço vetorial.

Passo 3

Verificando \mathcal{B}:
– O vetor zero (0,0) satisfaz 0\cdot0=0\ge0, logo está em \mathcal{B}.
– Para escalar arbitrário \lambda e vetor (x,y)\in\mathcal{B} temos x\,y\ge0. Então
(\lambda x)\,(\lambda y) = \lambda^2\,(x\,y)\ge0,
garantindo fechamento sob multiplicação por escalar.
– Entretanto, a soma pode falhar. Por exemplo,
(1,2)\in\mathcal{B} pois 1\cdot2=2\ge0 e
(-3,-1)\in\mathcal{B} pois (-3)\cdot(-1)=3\ge0.
Mas
(1,2)+(-3,-1) = (-2,1),
e (-2)\cdot1=-2<0, logo (-2,1)\notin\mathcal{B}.
Portanto, \mathcal{B} não é fechado sob soma e não é subespaço vetorial.

Resposta

\mathcal{A} não é subespaço vetorial.
\mathcal{B} não é subespaço vetorial.

Exercícios relacionados