Exercício 1. Determine a ordem das seguintes EDOs:
\left(y^{\prime}\right)^{2}+y=e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a ordem da seguinte EDO”. A equação fornecida é
\left(y^{\prime}\right)^{2}+y=e^{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função y de uma variável (presumivelmente x).
  • Aparecem y e y^{\prime} na equação.
  • Não aparecem derivadas de ordem superior a y^{\prime} explícitas no enunciado.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Ou seja, basta olhar todas as derivadas presentes e tomar a maior ordem entre elas.
Explicando as notações de derivada (para tirar qualquer dúvida):
  • y^{\prime} é a primeira derivada de y em relação a x, isto é, y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • y^{\prime\prime} é a segunda derivada, isto é, y^{\prime\prime}=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • Em geral, y^{(n)}=\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} é a derivada de ordem n.

Passo 3

Regras práticas para identificar a ordem:
  • Procure todas as expressões do tipo y^{\prime},y^{\prime\prime},y^{(3)},\dots.
  • A maior ordem entre essas indica a ordem da EDO.
  • Observação importante: operações algébricas sobre uma derivada (por exemplo, \left(y^{\prime}\right)^{2}, \sin(y^{\prime}), 3y^{\prime}) não aumentam a ordem — continuam sendo derivadas de primeira ordem. Só a presença explícita de uma derivada de ordem maior (por exemplo y^{\prime\prime}) eleva a ordem.

Passo 4

Alguns exemplos rápidos para fixar:
  • A equação \;y^{\prime}=3x\; tem ordem 1 porque aparece apenas y^{\prime}.
  • A equação \;y^{\prime\prime}+y=0\; tem ordem 2 porque aparece y^{\prime\prime}.
  • A equação \;(y^{\prime})^{2}+\sin(y)=x\; tem ordem 1 — o fato de y^{\prime} estar ao quadrado não muda a ordem.
  • A equação \;y\,y^{\prime\prime}-(y^{\prime})^{3}=0\; tem ordem 2 porque aparece y^{\prime\prime}.

Passo 5

Aplicando isso à equação dada:
\left(y^{\prime}\right)^{2}+y=e^{x}.
As derivadas que aparecem são apenas de primeira ordem, isto é, aparece y^{\prime} (embora elevado ao quadrado). Não há y^{\prime\prime} nem derivadas de ordem superior.

Passo 6

Portanto, pela definição (maior ordem de derivada presente), concluímos que a equação dada é uma equação diferencial ordinária de ordem 1.

Resposta

Ordem 1

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