Exercício 1. Determine a ordem das seguintes EDOs:
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a ordem da seguinte EDO”. A equação fornecida é
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
de uma variável (presumivelmente ). - Aparecem
e na equação. - Não aparecem derivadas de ordem superior a
explícitas no enunciado.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a maior ordem de derivada da incógnita que aparece na equação. Ou seja, basta olhar todas as derivadas presentes e tomar a maior ordem entre elas.
Explicando as notações de derivada (para tirar qualquer dúvida):
-
é a primeira derivada de em relação a , isto é, . -
é a segunda derivada, isto é, . - Em geral,
é a derivada de ordem .
Passo 3
Regras práticas para identificar a ordem:
- Procure todas as expressões do tipo
. - A maior ordem entre essas indica a ordem da EDO.
- Observação importante: operações algébricas sobre uma derivada (por exemplo,
, , ) não aumentam a ordem — continuam sendo derivadas de primeira ordem. Só a presença explícita de uma derivada de ordem maior (por exemplo ) eleva a ordem.
Passo 4
Alguns exemplos rápidos para fixar:
- A equação
tem ordem porque aparece apenas . - A equação
tem ordem porque aparece . - A equação
tem ordem — o fato de estar ao quadrado não muda a ordem. - A equação
tem ordem porque aparece .
Passo 5
Aplicando isso à equação dada:
As derivadas que aparecem são apenas de primeira ordem, isto é, aparece
(embora elevado ao quadrado). Não há
nem derivadas de ordem superior.
Passo 6
Portanto, pela definição (maior ordem de derivada presente), concluímos que a equação dada é uma equação diferencial ordinária de ordem
.
Resposta
Ordem