Exercício 1. Determine a ordem das seguintes EDOs:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: “Determine a ordem da EDO”. Informações fornecidas (explicitamente observáveis no enunciado):
e pede: “Determine a ordem da EDO”. Informações fornecidas (explicitamente observáveis no enunciado):
- A incógnita é
, função de uma variável independente (usualmente ). - Aparece a derivada primeira de
, escrita como . - Não aparecem derivadas de ordem superior (não há
, , etc.). - A equação mistura
e de forma não linear (há um exponencial de ).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO (explicação didática):
- A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplo: a equação
tem ordem porque aparece (segunda derivada). - Exemplo: a equação
tem ordem porque aparece (terceira derivada), mesmo que esteja dentro de uma função seno.
- Exemplo: a equação
- Observação importante e prática: mesmo que a derivada apareça dentro de outra função (como exponencial, seno, logaritmo, etc.), conta-se o índice da derivada que efetivamente aparece. Por exemplo,
contém (ordem ); contém (ordem ).
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado:
- Reescrevendo a equação numa forma implícita:
. Aqui aparecem apenas e . - O maior índice de derivada presente é
(pois aparece e não há nem derivados de ordem maior). - Logo, a ordem da EDO é
.
Complemento didático (útil para a prova): pode-se tentar isolar a derivada, obtendo
e, desde que
, tomar logaritmo para escrever a equação na forma normal
Isso mostra que a equação é de primeira ordem e não-linear; mencionar esse procedimento às vezes ajuda a reconhecer a ordem rapidamente durante a prova. Atenção: a passagem para
exige a condição
.
Passo 4
Conclusão clara e direta: a presença de
(e ausência de derivadas de ordem maior) determina a ordem da EDO como
. Força aí — primeiro passo resolvido, agora vem o resto da matéria!
Resposta
Ordem