Exercício 1. Determine a ordem das seguintes EDOs:
e^{y^{\prime}}+y=x.

Passo 1

O enunciado dá a equação
e^{y^{\prime}} + y = x
e pede: “Determine a ordem da EDO”. Informações fornecidas (explicitamente observáveis no enunciado):
  • A incógnita é y, função de uma variável independente (usualmente x).
  • Aparece a derivada primeira de y, escrita como y^{\prime}.
  • Não aparecem derivadas de ordem superior (não há y^{\prime\prime}, y^{(3)}, etc.).
  • A equação mistura y e y^{\prime} de forma não linear (há um exponencial de y^{\prime}).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (explicação didática):
  • A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
    • Exemplo: a equação y^{\prime\prime}+y=0 tem ordem 2 porque aparece y^{\prime\prime} (segunda derivada).
    • Exemplo: a equação \sin\bigl(y^{(3)}\bigr)+y=0 tem ordem 3 porque aparece y^{(3)} (terceira derivada), mesmo que esteja dentro de uma função seno.
  • Observação importante e prática: mesmo que a derivada apareça dentro de outra função (como exponencial, seno, logaritmo, etc.), conta-se o índice da derivada que efetivamente aparece. Por exemplo, e^{y^{\prime}} contém y^{\prime} (ordem 1); \cos(y^{\prime\prime}) contém y^{\prime\prime} (ordem 2).

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado:
  • Reescrevendo a equação numa forma implícita: e^{y^{\prime}} + y - x = 0. Aqui aparecem apenas y e y^{\prime}.
  • O maior índice de derivada presente é 1 (pois aparece y^{\prime} e não há y^{\prime\prime} nem derivados de ordem maior).
  • Logo, a ordem da EDO é 1.
Complemento didático (útil para a prova): pode-se tentar isolar a derivada, obtendo
e^{y^{\prime}} = x - y,
e, desde que x-y>0, tomar logaritmo para escrever a equação na forma normal
y^{\prime} = \ln(x - y).
Isso mostra que a equação é de primeira ordem e não-linear; mencionar esse procedimento às vezes ajuda a reconhecer a ordem rapidamente durante a prova. Atenção: a passagem para y^{\prime}=\ln(x-y) exige a condição x-y>0.

Passo 4

Conclusão clara e direta: a presença de y^{\prime} (e ausência de derivadas de ordem maior) determina a ordem da EDO como 1. Força aí — primeiro passo resolvido, agora vem o resto da matéria!

Resposta

Ordem 1

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