Exercício 7.* Determine quatro números complexos distintos tais que z^{4}=-2.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as soluções complexas da equação
z^{4} = -2.
Isto envolve raiz de número complexo, então vamos usar a forma polar de um número complexo e a fórmula das raízes n-ésimas.

Passo 2

Escrever -2 em coordenadas polares. O módulo é
r = |{-2}| = 2
e o argumento principal é \theta = \pi
pois -2 fica no eixo real negativo.

Passo 3

A fórmula geral das quatro raízes de um número complexo de módulo r e argumento \theta é
z_{k} = r^{1/4}\,\exp\!\bigl(i\,\tfrac{\theta + 2\pi k}{4}\bigr), \quad k = 0,1,2,3.

Passo 4

Aqui r^{1/4} = 2^{1/4} e
\frac{\theta + 2\pi k}{4} = \frac{\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k=0,1,2,3.

Passo 5

Substituindo em cada k, obtemos as quatro raízes:
z_{k} = 2^{1/4}\,e^{\,i\bigl(\tfrac{\pi}{4} + \tfrac{\pi k}{2}\bigr)}, \quad k=0,1,2,3,
ou seja, explicitamente,
z_{0} = 2^{1/4}e^{i\pi/4},\quad z_{1} = 2^{1/4}e^{i3\pi/4},\quad z_{2} = 2^{1/4}e^{i5\pi/4},\quad z_{3} = 2^{1/4}e^{i7\pi/4}.

Resposta

As quatro soluções são
2^{1/4}e^{\,i\pi/4},\quad 2^{1/4}e^{\,i3\pi/4},\quad 2^{1/4}e^{\,i5\pi/4},\quad 2^{1/4}e^{\,i7\pi/4}.

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