Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. O enunciado escreveu
, mas sequências normalmente têm índice inteiro; vou interpretar aqui
(índices inteiros não negativos), que é a interpretação padrão em exercícios desse tipo. As informações dadas são:
A pergunta é: essa sequência é crescente (cada termo maior que o anterior), decrescente (cada termo menor que o anterior) ou não monótona?
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): uma forma prática de verificar monotonicidade de uma sequência indexada por inteiros é comparar termos consecutivos. Se para todo
tivermos
, então a sequência é estritamente crescente. Se
para todo
, então é estritamente decrescente. Vou calcular
e analisar o sinal. Aqui
indica o
-ésimo termo da sequência, isto é,
.
Passo 3
Escrevo os dois termos consecutivos e começo a manipular:
Para facilitar as contas, faço a substituição
. Observe que
para todo
(porque
é sempre positivo). Com essa substituição:
Agora calculo a diferença
:
Passo 4
Faço a subtração somando as frações com denominador comum. O denominador comum é
. Portanto,
Agora desenvolvo os numeradores passo a passo:
Subtraindo:
Logo a diferença fica
Passo 5
Analiso o sinal da expressão obtida. Lembre-se que
. Os fatores no denominador
e
também são positivos, pois
implica
e
. Portanto o quociente
é positivo para todo
. Conclusão: para todo
temos
. Assim a sequência é estritamente crescente.
Passo 6
Chego a um pequeno exemplo numérico pra fixar a intuição:
,
,
. Vês que
; os termos aumentam, coerente com o cálculo algébrico.
Resposta
Estritamente crescente.