Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
\left(\frac{2^{n}}{1+2^{n}}\right)_{n \in \mathbb{R}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
\left(\frac{2^{n}}{1+2^{n}}\right)
é crescente, decrescente ou não monótona. O enunciado escreveu n\in\mathbb{R}, mas sequências normalmente têm índice inteiro; vou interpretar aqui n\in\mathbb{N} (índices inteiros não negativos), que é a interpretação padrão em exercícios desse tipo. As informações dadas são:
a_n=\frac{2^{n}}{1+2^{n}},\qquad n\in\mathbb{N}.
A pergunta é: essa sequência é crescente (cada termo maior que o anterior), decrescente (cada termo menor que o anterior) ou não monótona?

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): uma forma prática de verificar monotonicidade de uma sequência indexada por inteiros é comparar termos consecutivos. Se para todo n tivermos a_{n+1}-a_n>0, então a sequência é estritamente crescente. Se a_{n+1}-a_n<0 para todo n, então é estritamente decrescente. Vou calcular a_{n+1}-a_n e analisar o sinal. Aqui a_n indica o n-ésimo termo da sequência, isto é, a_n=\dfrac{2^{n}}{1+2^{n}}.

Passo 3

Escrevo os dois termos consecutivos e começo a manipular:
a_n=\frac{2^{n}}{1+2^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}.
Para facilitar as contas, faço a substituição t=2^{n}. Observe que t>0 para todo n (porque 2^{n} é sempre positivo). Com essa substituição:
a_n=\frac{t}{1+t},\qquad a_{n+1}=\frac{2t}{1+2t}.
Agora calculo a diferença a_{n+1}-a_n:
a_{n+1}-a_n=\frac{2t}{1+2t}-\frac{t}{1+t}.

Passo 4

Faço a subtração somando as frações com denominador comum. O denominador comum é (1+2t)(1+t). Portanto,
a_{n+1}-a_n=\frac{2t(1+t)-t(1+2t)}{(1+2t)(1+t)}.
Agora desenvolvo os numeradores passo a passo:
2t(1+t)=2t+2t^{2},
t(1+2t)=t+2t^{2}.
Subtraindo:
2t+2t^{2}-(t+2t^{2})=2t+2t^{2}-t-2t^{2}=t.
Logo a diferença fica
a_{n+1}-a_n=\frac{t}{(1+2t)(1+t)}.

Passo 5

Analiso o sinal da expressão obtida. Lembre-se que t=2^{n}>0. Os fatores no denominador (1+2t) e (1+t) também são positivos, pois t>0 implica 1+t>0 e 1+2t>0. Portanto o quociente
\frac{t}{(1+2t)(1+t)}
é positivo para todo n. Conclusão: para todo n\in\mathbb{N} temos a_{n+1}-a_n>0. Assim a sequência é estritamente crescente.

Passo 6

Chego a um pequeno exemplo numérico pra fixar a intuição: a_0=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, a_1=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}, a_2=\dfrac{4}{1+4}=\dfrac{4}{5}. Vês que 0{,}5<0{,}666\ldots<0{,}8; os termos aumentam, coerente com o cálculo algébrico.

Resposta

Estritamente crescente.

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