Prove, usando o Teorema 3.3, que as sequências dadas são convergentes.
\left(\frac{3 n-1}{4 n+5}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência
\left(\frac{3n-1}{4n+5}\right)_{n\in\mathbb{R}}
é convergente. As informações fornecidas são apenas a fórmula do termo-geral da sequência: para cada inteiro n (assumimos n\ge 1),
a_n=\frac{3n-1}{4n+5}.
A pergunta é: mostrar que a sequência (a_n) converge e, implicitamente, determinar o seu limite.

Passo 2

Primeiro vou reescrever a_n de forma que fique claro o comportamento quando n\to\infty. Faço fatoração por n no numerador e no denominador (válida para n\neq0, e estamos interessados em n grandes):
a_n=\frac{3n-1}{4n+5}=\frac{n\left(3-\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(4+\dfrac{5}{n}\right)}=\frac{3-\dfrac{1}{n}}{4+\dfrac{5}{n}}.
Esta forma é útil porque agora aparece a sequência \dfrac{1}{n}, que sabemos que tende a 0. A ideia é mostrar que as sequências
x_n=3-\frac{1}{n}\quad\text{e}\quad y_n=4+\frac{5}{n}
convergem, e então aplicar o Teorema 3.3 (sobre operações com limites) ao quociente x_n/y_n.

Passo 3

Vou mostrar que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Esta é uma propriedade básica e serve como bloco de construção para as demais convergências que preciso.
Prova direta (ε–N): dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N temos
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Portanto \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty.

Passo 4

Usando que \dfrac{1}{n}\to 0, concluo limites para termos simples:
  • Como \dfrac{1}{n}\to 0, a sequência \left(-\dfrac{1}{n}\right) também tende a 0 (multiplicando por -1 não altera a convergência, só muda o sinal).
  • Então x_n=3-\dfrac{1}{n} é soma de uma constante 3 com uma sequência que tende a 0; logo x_n\to 3+0=3.
Aqui usei a propriedade: se b_n\to b e c é constante, então c+b_n\to c+b. Essa é parte do que normalmente o Teorema 3.3 afirma (as operações com limites).

Passo 5

Mostro agora que y_n=4+\dfrac{5}{n} converge para 4.
Observe que \dfrac{5}{n}=5\cdot\dfrac{1}{n}. Como \dfrac{1}{n}\to 0 e multiplicar por uma constante preserva a convergência, segue que \dfrac{5}{n}\to 0. Portanto
y_n=4+\frac{5}{n}\longrightarrow 4+0=4.

Passo 6

Enuncio agora explicitamente a parte do Teorema 3.3 que vou usar (forma usual): se (u_n) converge para u e (v_n) converge para v com v\neq 0, então a sequência \left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) converge para \dfrac{u}{v}, desde que v_n\neq 0 para n suficientemente grande.
No nosso caso já mostramos x_n\to 3 e y_n\to 4. Além disso 4\neq 0. Também, para todo n\ge 1 temos y_n=4+\dfrac{5}{n}>0, então y_n é diferente de zero para todos n grandes (na verdade para todos n\ge1). Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 7

Aplicando o Teorema 3.3 ao quociente \dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{3-\frac{1}{n}}{4+\frac{5}{n}}=a_n, obtemos que a_n converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\lim_{n\to\infty}x_n}{\lim_{n\to\infty}y_n}=\frac{3}{4}.

Passo 8

Revisão rápida (para colar na prova): passo 1, fatorar n e escrever a_n=(3-1/n)/(4+5/n). Passo 2, provar 1/n\to0 por ε–N. Passo 3, concluir 3-1/n\to3 e 4+5/n\to4. Passo 4, aplicar o Teorema 3.3 para quocientes e concluir limite 3/4. Tá feito — e deu pra ver que a ideia é sempre reduzir ao comportamento de 1/n.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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