Prove, usando o Teorema 3.3, que as sequências dadas são convergentes.
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que a sequência
é convergente. As informações fornecidas são apenas a fórmula do termo-geral da sequência: para cada inteiro
(assumimos
),
A pergunta é: mostrar que a sequência
converge e, implicitamente, determinar o seu limite.
Passo 2
Primeiro vou reescrever
de forma que fique claro o comportamento quando
. Faço fatoração por
no numerador e no denominador (válida para
, e estamos interessados em
grandes):
Esta forma é útil porque agora aparece a sequência
, que sabemos que tende a
. A ideia é mostrar que as sequências
convergem, e então aplicar o Teorema 3.3 (sobre operações com limites) ao quociente
.
Passo 3
Vou mostrar que
quando
. Esta é uma propriedade básica e serve como bloco de construção para as demais convergências que preciso.
Prova direta (ε–N): dado
, escolha
tal que
. Então, para todo
temos
Portanto
quando
.
Passo 4
Usando que
, concluo limites para termos simples:
- Como
, a sequência também tende a (multiplicando por não altera a convergência, só muda o sinal). - Então
é soma de uma constante com uma sequência que tende a ; logo .
Aqui usei a propriedade: se
e
é constante, então
. Essa é parte do que normalmente o Teorema 3.3 afirma (as operações com limites).
Passo 5
Mostro agora que
converge para
.
Observe que
. Como
e multiplicar por uma constante preserva a convergência, segue que
. Portanto
Passo 6
Enuncio agora explicitamente a parte do Teorema 3.3 que vou usar (forma usual): se
converge para
e
converge para
com
, então a sequência
converge para
, desde que
para
suficientemente grande.
No nosso caso já mostramos
e
. Além disso
. Também, para todo
temos
, então
é diferente de zero para todos
grandes (na verdade para todos
). Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Passo 7
Aplicando o Teorema 3.3 ao quociente
, obtemos que
converge e seu limite é
Passo 8
Revisão rápida (para colar na prova): passo 1, fatorar
e escrever
. Passo 2, provar
por ε–N. Passo 3, concluir
e
. Passo 4, aplicar o Teorema 3.3 para quocientes e concluir limite
. Tá feito — e deu pra ver que a ideia é sempre reduzir ao comportamento de
.