Exercício 2.4.7. Determine
para que a série seja convergente.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a série
é convergente.
Informações dadas e o que é pedido:
- A série tem termos
. - Queremos saber, para cada
, se converge ou diverge. - Precisamos examinar três tipos de situação típicas:
, e .
Passo 2
Vamos escolher um método eficiente: o teste da raiz (root test) é muito apropriado para séries com potências
. Antes de aplicar, explico o teste de forma didática.
Teste da raiz (enunciado e ideia):
- Seja
uma sequência real (ou complexa). Definimos
- Se
a série converge absolutamente. - Se
a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
O motivo (intuição curta):
mede a “taxa exponencial” do termo; se essa taxa é menor que 1, os termos decaem exponencialmente e a série converge; se for maior que 1, os termos crescem exponencialmente e a série diverge.
Vou aplicar esse teste a
.
Passo 3
Calcular
e seu limite quando
.
Escrevemos
Agora precisamos do limite quando
. Usamos duas propriedades padrão:
-
. (Explicação rápida: tome log euse que .) - Para qualquer polinômio em
de grau finito, . Em particular (mesma razão: ).
Portanto
Aplicando o teste da raiz:
- Se
então e a série converge absolutamente. - Se
então e a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo (porque ). Precisamos tratar separadamente.
Passo 4
Analisar o caso
.
Para
a série vira
Compare com a série
, que sabemos convergir (é a série-p com
). Usamos o teste da comparação limite (limit comparison test): calcule
O limite é um número finito e positivo (
), então
converge se, e somente se,
converge. Como
converge, concluímos que a série no caso
também converge.
Observação: a comparação funcionou porque para grandes
temos
.
Passo 5
Conclusão final combinando os casos:
- Para
: converge (teste da raiz, limite ). - Para
: converge (comparação limite com ). - Para
: diverge (teste da raiz, limite ).
Como o enunciado pediu apenas
, reunimos os valores de
para os quais a série é convergente.