Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
c) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k x^{k}}{k^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k x^{k}}{k^{3}+1}
é convergente.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A série tem termos a_k(x)=\dfrac{k x^{k}}{k^{3}+1}.
  • Queremos saber, para cada x>0, se \sum_{k=1}^{\infty} a_k(x) converge ou diverge.
  • Precisamos examinar três tipos de situação típicas: x<1, x=1 e x>1.

Passo 2

Vamos escolher um método eficiente: o teste da raiz (root test) é muito apropriado para séries com potências x^{k}. Antes de aplicar, explico o teste de forma didática.
Teste da raiz (enunciado e ideia):
  • Seja a_k uma sequência real (ou complexa). Definimos
L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}.
  • Se L<1 a série \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
O motivo (intuição curta): \sqrt[k]{|a_k|} mede a “taxa exponencial” do termo; se essa taxa é menor que 1, os termos decaem exponencialmente e a série converge; se for maior que 1, os termos crescem exponencialmente e a série diverge.
Vou aplicar esse teste a a_k(x)=\dfrac{k x^{k}}{k^{3}+1}.

Passo 3

Calcular \sqrt[k]{a_k(x)} e seu limite quando k\to\infty.
Escrevemos
\sqrt[k]{a_k(x)}=\sqrt[k]{\frac{k x^{k}}{k^{3}+1}} =\frac{k^{1/k}\,x}{(k^{3}+1)^{1/k}}.
Agora precisamos do limite quando k\to\infty. Usamos duas propriedades padrão:
  1. \displaystyle \lim_{k\to\infty} k^{1/k}=1. (Explicação rápida: tome log euse que \frac{\ln k}{k}\to0.)
  2. Para qualquer polinômio em k de grau finito, \displaystyle \lim_{k\to\infty} (k^{m}+c)^{1/k}=1. Em particular \displaystyle \lim_{k\to\infty} (k^{3}+1)^{1/k}=1 (mesma razão: \frac{\ln(k^3+1)}{k}\sim\frac{3\ln k}{k}\to0).
Portanto
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k(x)}=\frac{1\cdot x}{1}=x.
Aplicando o teste da raiz:
  • Se x<1 então L=x<1 e a série converge absolutamente.
  • Se x>1 então L=x>1 e a série diverge.
  • Se x=1 o teste é inconclusivo (porque L=1). Precisamos tratar x=1 separadamente.

Passo 4

Analisar o caso x=1.
Para x=1 a série vira
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{3}+1}.
Compare com a série \sum \dfrac{1}{k^{2}}, que sabemos convergir (é a série-p com p=2>1). Usamos o teste da comparação limite (limit comparison test): calcule
\lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{k}{k^{3}+1}}{\dfrac{1}{k^{2}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k^{3}+1}\cdot k^{2} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{k^{3}+1}=1.
O limite é um número finito e positivo ( 1), então \sum \dfrac{k}{k^{3}+1} converge se, e somente se, \sum \dfrac{1}{k^{2}} converge. Como \sum \dfrac{1}{k^{2}} converge, concluímos que a série no caso x=1 também converge.
Observação: a comparação funcionou porque para grandes k temos \dfrac{k}{k^{3}+1}\sim \dfrac{1}{k^{2}}.

Passo 5

Conclusão final combinando os casos:
  • Para 0<x<1: converge (teste da raiz, limite x<1).
  • Para x=1: converge (comparação limite com 1/k^{2}).
  • Para x>1: diverge (teste da raiz, limite x>1).
Como o enunciado pediu apenas x>0, reunimos os valores de x>0 para os quais a série é convergente.

Resposta

0<x\le 1

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