Exercício 2.4.7. Determine
para que a série seja convergente.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a série
é convergente. Informação dada: a série cujos termos gerais são
com
e parâmetro real positivo
. A pergunta é: para quais valores de
a soma infinita acima converge?
Passo 2
Vamos lembrar um teste muito útil para séries de termos positivos: o teste da razão (também chamado de critério da razão). Ele diz o seguinte: para uma série com termos positivos
, suponha que exista o limite
Então
- se
, a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo (precisamos de outro argumento).
Por que isso funciona (intuição)? Se para grandes
temos
, os termos diminuem geometricamente, parecido com uma série geométrica que converge. Se
, os termos crescem e não pode haver soma finita.
Passo 3
Aplicando o teste da razão aos termos
:
Agora calculamos o limite quando
:
Pelo teste da razão, se
a série converge; se
a série diverge. O caso
dá limite
e o teste é inconclusivo, então precisamos tratar
separadamente.
Passo 4
Tratamento do caso
por comparação (uma segunda justificativa, útil na prova): para
temos
, logo
A série geométrica
converge quando
, e seu valor é
Pelo teste da comparação (cada termo
é menor que o correspondente termo da geométrica), segue que
converge para todo
.
Passo 5
Tratamento do caso
: a série fica
que é a série harmônica. Uma demonstração clássica de que ela diverge é por agrupamento: escrevemos os termos em blocos
No
-ésimo bloco há
termos e cada termo desse bloco é pelo menos
, então a soma de cada bloco é pelo menos
Somando os blocos obtemos que as somas parciais crescem sem limite (cada bloco acrescenta pelo menos
), portanto a série diverge. Assim, em
a série diverge.
Passo 6
Resumo dos casos com
: do cálculo no Passo 3 temos
. Pelo teste da razão, quando esse limite é maior que
a série diverge. Intuitivamente, para
os termos
crescem exponencialmente (mais rápido que
decresce), então não tendem a zero e a série não pode convergir (uma série só pode convergir se seus termos forem nulos no limite).
Passo 7
Conclusão final: a série
converge exatamente para os valores de
tais que
. Para
ou
a série diverge.