Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
a) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}
é convergente. Informação dada: a série cujos termos gerais são a_k=\dfrac{x^{k}}{k} com k=1,2,3,\dots e parâmetro real positivo x>0. A pergunta é: para quais valores de x>0 a soma infinita acima converge?

Passo 2

Vamos lembrar um teste muito útil para séries de termos positivos: o teste da razão (também chamado de critério da razão). Ele diz o seguinte: para uma série com termos positivos a_k, suponha que exista o limite
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.
Então
  • se L<1, a série converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo (precisamos de outro argumento).
Por que isso funciona (intuição)? Se para grandes k temos \dfrac{a_{k+1}}{a_k}\approx L<1, os termos diminuem geometricamente, parecido com uma série geométrica que converge. Se \dfrac{a_{k+1}}{a_k}\approx L>1, os termos crescem e não pode haver soma finita.

Passo 3

Aplicando o teste da razão aos termos a_k=\dfrac{x^{k}}{k}:
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\dfrac{x^{k+1}}{k+1}}{\dfrac{x^{k}}{k}}=x\cdot\frac{k}{k+1}.
Agora calculamos o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\lim_{k\to\infty} x\cdot\frac{k}{k+1}=x\cdot 1 = x.
Pelo teste da razão, se x<1 a série converge; se x>1 a série diverge. O caso x=1 dá limite 1 e o teste é inconclusivo, então precisamos tratar x=1 separadamente.

Passo 4

Tratamento do caso 0<x<1 por comparação (uma segunda justificativa, útil na prova): para k\ge 1 temos k\ge 1, logo
0<\frac{x^{k}}{k}\le x^{k}.
A série geométrica \sum_{k=1}^{\infty} x^{k} converge quando 0<x<1, e seu valor é
\sum_{k=1}^{\infty} x^{k}=\frac{x}{1-x}.
Pelo teste da comparação (cada termo \dfrac{x^k}{k} é menor que o correspondente termo da geométrica), segue que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^{k}}{k} converge para todo 0<x<1.

Passo 5

Tratamento do caso x=1: a série fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1^{k}}{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k},
que é a série harmônica. Uma demonstração clássica de que ela diverge é por agrupamento: escrevemos os termos em blocos
1,\quad \frac{1}{2},\quad \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right),\quad \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right),\quad \dots
No m-ésimo bloco há 2^{m-1} termos e cada termo desse bloco é pelo menos \dfrac{1}{2^m}, então a soma de cada bloco é pelo menos
2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^m}=\frac{1}{2}.
Somando os blocos obtemos que as somas parciais crescem sem limite (cada bloco acrescenta pelo menos 1/2), portanto a série diverge. Assim, em x=1 a série diverge.

Passo 6

Resumo dos casos com x>1: do cálculo no Passo 3 temos \lim_{k\to\infty}\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=x>1. Pelo teste da razão, quando esse limite é maior que 1 a série diverge. Intuitivamente, para x>1 os termos \dfrac{x^k}{k} crescem exponencialmente (mais rápido que 1/k decresce), então não tendem a zero e a série não pode convergir (uma série só pode convergir se seus termos forem nulos no limite).

Passo 7

Conclusão final: a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^{k}}{k} converge exatamente para os valores de x tais que 0<x<1. Para x=1 ou x>1 a série diverge.

Resposta

0<x<1

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