Exercício 4.8 Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} tal que
T(1,0,0)=(1,0), \quad T(0,1,0)=(1,-1) \quad \text { e } \quad T(0,0,1)=(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cuja ação sobre os vetores canônicos é dada. As informações fornecidas são:
T(1,0,0)=(1,0),\qquad T(0,1,0)=(1,-1),\qquad T(0,0,1)=(0,1).
Aqui os vetores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) são os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3. A questão é: achar uma fórmula fechada (ou a matriz) que descreva T para qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma transformação T é linear se satisfaz, para quaisquer vetores u,v e escalar c,
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=c\,T(u).
Uma consequência prática muito útil é: se conhecemos T nos vetores da base canônica \,e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1), então sabemos T em qualquer vetor (x,y,z) porque
(x,y,z)=x e_1 + y e_2 + z e_3
e, aplicando linearidade,
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3).
Explicando as variáveis: aqui x,y,z são os componentes do vetor em \mathbb{R}^3; T(e_i) são vetores em \mathbb{R}^2. Essa fórmula nos dá uma forma mecânica de montar T.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior às imagens fornecidas:
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Agora substituímos os valores que o enunciado deu:
T(x,y,z)=x\,(1,0)+y\,(1,-1)+z\,(0,1).
Vamos somar componente a componente (mostrando cada etapa):
  • Primeira componente: x\cdot 1 + y\cdot 1 + z\cdot 0 = x + y.
  • Segunda componente: x\cdot 0 + y\cdot (-1) + z\cdot 1 = -y + z.
Portanto, obtemos a fórmula explícita
T(x,y,z)=(x+y,\,-y+z).

Passo 4

Matriz da transformação (explicação didática): se representarmos vetores coluna (x,y,z)^\top em \mathbb{R}^3, então a matriz A de T em relação às bases canônicas tem como colunas as imagens de e_1,e_2,e_3. Assim:
A=\begin{pmatrix} \;T(e_1)\; & \;T(e_2)\; & \;T(e_3)\; \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação por multiplicação: multiplicando A pelo vetor coluna (x,y,z)^\top,
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z\\[4pt] 0\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y\\\\ -y+z\end{pmatrix},
que coincide com a expressão encontrada no passo anterior.]

Passo 5

Exemplo rápido (para fixar): aplique T ao vetor (2,1,-1). Usando a fórmula,
T(2,1,-1)=(2+1,\,-1+(-1))=(3,\,-2).
Isso mostra como usar a fórmula na prova sem pensar muito: soma a primeira com a segunda componente para obter a primeira saída; subtrai a segunda da terceira para obter a segunda saída.

Resposta

T(x,y,z)=(x+y,\,-y+z)
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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