Exercício 4.7 Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tal que
T(1,0,0)=1-x, \quad T(0,1,0)=1+x \quad e \quad T(0,0,1)=1-x^{2} .
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tal que estão dadas as imagens dos três vetores canônicos:
T(1,0,0)=1-x,
T(0,1,0)=1+x,
T(0,0,1)=1-x^{2}.
As informações relevantes são exatamente essas três igualdades. A pergunta é: qual é a expressão de T aplicada a um vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}? (ou equivalentemente, qual a representação matricial de T nas bases canônicas?)
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida e tranquila): uma transformação T é linear quando vale
para quaisquer vetores u,v e escalar \lambda. Uma consequência prática importante é: sabendo as imagens de uma base do domínio, você sabe as imagens de todos os vetores (porque todo vetor é combinação linear dos vetores da base). Aqui os vetores dados são justamente os vetores da base canônica de \mathbb{R}^{3}:
Então um vetor qualquer (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos canônicos:
(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1).
Não complique: esses a,b,c são os componentes do vetor no domínio; o x que aparece nas polinômios é a variável do polinômio em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Passo 4
Pela linearidade de T temos
T(a,b,c)=a\,T(1,0,0)+b\,T(0,1,0)+c\,T(0,0,1).
Agora substituímos as imagens fornecidas no enunciado.
Passo 5
Substituindo:
T(a,b,c)=a(1-x)+b(1+x)+c(1-x^{2}).
Vamos desenvolver essa soma termo a termo para ficar no formato usual de polinômio c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}.
Passo 6
Expandindo e agrupando coeficientes:
a(1-x)=a - a x,
b(1+x)=b + b x,
c(1-x^{2})=c - c x^{2}.
Somando tudo:
T(a,b,c)=(a+b+c) + (-a+b)\,x + (-c)\,x^{2}.
Ou escrito de forma limpa:
T(a,b,c)=(a+b+c) + (-a+b)\,x - c\,x^{2}.
Passo 7
Representação matricial (útil na prova): se escolhemos a base \{1,x,x^{2}\} em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e a base canônica em \mathbb{R}^{3}, os coeficientes do polinômio acima formam o vetor coluna imagem. As colunas da matriz de T são as coordenadas de T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}):
que, multiplicada por \begin{pmatrix}a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix}, dá \begin{pmatrix}a+b+c\\[2pt]-a+b\\[2pt]-c\end{pmatrix}, os coeficientes do polinômio.]
Passo 8
Exemplo rápido para fixar: calcule T(2,3,4) usando a fórmula encontrada:
constante =2+3+4=9,
coeficiente de x=-2+3=1,
coeficiente de x^{2}=-4.
Logo
T(2,3,4)=9 + 1\cdot x -4\,x^{2}.
Viu? É só somar os constantes e combinar os coeficientes.