Exercício 2.4.7. Determine
para que a série seja convergente.
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a série
é convergente. Informações importantes dadas:
Portanto podemos reescrever o termo geral da série como
e a meta é encontrar para quais
a soma
converge.
Passo 2
Escolhemos um teste para séries de termos positivos: o Teste da Razão (ou de d’Alembert). Vou explicar o que é esse teste e como usá-lo, devagarinho. Dados os termos positivos
, definimos
As regras do teste são:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui cadaé . Vamos calcular essa razão explicitamente.
Passo 3
Escrevemos
e
:
Agora formamos a razão
Para simplificar o fator com fatoriais, usamos a identidade
Substituindo, obtemos
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Observe que
cresce como
quando
aumenta, ou seja, tende para
. Assim o quociente acima tende a
para qualquer valor fixo e finito de
. Portanto
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão: como
, concluímos que a série
converge absolutamente para TODO valor finito de
. Em particular, para todo
a série converge. (Comentário extra: na verdade a mesma conta mostra convergência para todos os
, não só
, porque só usamos o valor absoluto de
indiretamente — mas o exercício pediu
.)