Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
f) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 k+1)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(2k+1)}
é convergente. Informações importantes dadas:
\text{o denominador }1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(2k+1) \text{ é }(2k+1)!.é
Portanto podemos reescrever o termo geral da série como
a_k=\frac{x^{k}}{(2k+1)!},
e a meta é encontrar para quais x>0 a soma \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge.

Passo 2

Escolhemos um teste para séries de termos positivos: o Teste da Razão (ou de d’Alembert). Vou explicar o que é esse teste e como usá-lo, devagarinho. Dados os termos positivos \{a_k\}, definimos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.
As regras do teste são:
  • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui cada a_k é \frac{x^k}{(2k+1)!}. Vamos calcular essa razão explicitamente.

Passo 3

Escrevemos a_k e a_{k+1}:
a_k=\frac{x^k}{(2k+1)!},\qquad a_{k+1}=\frac{x^{k+1}}{(2(k+1)+1)!}=\frac{x^{k+1}}{(2k+3)!}.
Agora formamos a razão
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\dfrac{x^{k+1}}{(2k+3)!}}{\dfrac{x^{k}}{(2k+1)!}} = x\cdot\frac{(2k+1)!}{(2k+3)!}.
Para simplificar o fator com fatoriais, usamos a identidade
(2k+3)!=(2k+3)(2k+2)(2k+1)!.
Substituindo, obtemos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = x\cdot\frac{(2k+1)!}{(2k+3)(2k+2)(2k+1)!} = \frac{x}{(2k+3)(2k+2)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{x}{(2k+3)(2k+2)}.
Observe que (2k+3)(2k+2) cresce como 4k^2 quando k aumenta, ou seja, tende para +\infty. Assim o quociente acima tende a 0 para qualquer valor fixo e finito de x. Portanto
L=0.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão: como L=0<1, concluímos que a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge absolutamente para TODO valor finito de x. Em particular, para todo x>0 a série converge. (Comentário extra: na verdade a mesma conta mostra convergência para todos os x\in\mathbb{R}, não só x>0, porque só usamos o valor absoluto de x indiretamente — mas o exercício pediu x>0.)

Resposta

\text{A série converge para todo }x>0.é

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