Exercício 2.4.7. Determine
para que a série seja convergente.
h)
.
h)
Passo 1
O enunciado dá a série cuja soma é
e pede: determinar para quais valores de
essa série é convergente. Informação relevante que temos do enunciado: o índice de soma é
; o termo geral é
; e estamos interessados apenas em
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Vou usar um teste de convergência que é muito direto para esse tipo de termo: o Teste da Raiz (ou critério da raiz). Vou primeiro enunciar e explicar o teste de forma simples. Para uma série
com termos reais ou complexos, define-se
O teste diz:
- se
, a série converge absolutamente (e, portanto, converge); - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que a sérieconverge. Esse critério é ótimo quando o termo geral tem a forma de algo elevado à potência , como aqui.
Passo 3
Calculo a
-ésima raiz do módulo do termo geral. Como
,
já é não-negativo, então
. Temos
Agora uso a propriedade
para
. Assim
(Esse passo é só álgebra: tirar a raiz de uma potência cancela a potência.)
Passo 4
Agora tomo o limite superior (que aqui é o próprio limite) quando
:
Para qualquer
fixo (em particular para qualquer
), o denominador
cresce sem limite, então a razão
tende a
. Portanto
Passo 5
Como
, pelo Teste da Raiz a série
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, então a série converge para todo
.
Passo 6
Comentário intuitivo rápido (para você lembrar na prova): embora para pequenos
o termo
possa ser grande (por exemplo, o primeiro termo é
), a potência
cresce extraordinariamente rápido (aproximadamente como
), muito mais rápido do que
. Isso faz com que os termos do somatório caiam muito rápido e a série seja convergente independentemente de qual seja o
.
Resposta
A série converge para todo
.