Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
h) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{k^{k}}.

Passo 1

O enunciado dá a série cuja soma é
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{k^{k}}
e pede: determinar para quais valores de x>0 essa série é convergente. Informação relevante que temos do enunciado: o índice de soma é k=1,2,3,\dots; o termo geral é a_{k}=\frac{x^{k}}{k^{k}}; e estamos interessados apenas em x>0. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vou usar um teste de convergência que é muito direto para esse tipo de termo: o Teste da Raiz (ou critério da raiz). Vou primeiro enunciar e explicar o teste de forma simples. Para uma série \sum a_{k} com termos reais ou complexos, define-se
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_{k}|}.
O teste diz:
  • se L<1, a série converge absolutamente (e, portanto, converge);
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    “Converge absolutamente” significa que a série \sum |a_{k}| converge. Esse critério é ótimo quando o termo geral tem a forma de algo elevado à potência k, como aqui.

Passo 3

Calculo a k-ésima raiz do módulo do termo geral. Como x>0, a_{k} já é não-negativo, então |a_{k}|=a_{k}. Temos
\sqrt[k]{|a_{k}|}=\sqrt[k]{\frac{x^{k}}{k^{k}}}=\frac{\sqrt[k]{x^{k}}}{\sqrt[k]{k^{k}}}.
Agora uso a propriedade \sqrt[k]{y^{k}}=y para y\ge 0. Assim
\sqrt[k]{|a_{k}|}=\frac{x}{k}.
(Esse passo é só álgebra: tirar a raiz de uma potência cancela a potência.)

Passo 4

Agora tomo o limite superior (que aqui é o próprio limite) quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{k}|}=\lim_{k\to\infty}\frac{x}{k}.
Para qualquer x fixo (em particular para qualquer x>0), o denominador k cresce sem limite, então a razão \frac{x}{k} tende a 0. Portanto
L=0.

Passo 5

Como L=0<1, pelo Teste da Raiz a série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k^{k}} converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, então a série converge para todo x>0.

Passo 6

Comentário intuitivo rápido (para você lembrar na prova): embora para pequenos k o termo \frac{x^{k}}{k^{k}} possa ser grande (por exemplo, o primeiro termo é \frac{x}{1}=x), a potência k^{k} cresce extraordinariamente rápido (aproximadamente como e^{k\ln k}), muito mais rápido do que x^{k}. Isso faz com que os termos do somatório caiam muito rápido e a série seja convergente independentemente de qual seja o x>0.

Resposta

A série converge para todo x>0.

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