Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui usamos esse teste porque a presença de k! no denominador costuma facilitar o cálculo da razão entre termos consecutivos.
Passo 3
Defino o termo geral
a_k=\frac{(2k+1)\,x^{k}}{k!},\qquad k\ge1.
Agora escrevo o quociente \dfrac{a_{k+1}}{a_k} e simplifico passo a passo:
Como L=0<1, o teste da razão garante que a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(2k+1)\,x^{k}}{k!} converge absolutamente para qualquer x fixo. Em particular, para todo x>0 a série converge.
Passo 6
Comentário intuitivo (útil para a prova): o fator k! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^k, então termos do tipo \dfrac{x^k}{k!} já formam a série do tipo e^{x} que converge para todo x. Multiplicar por um polinômio em k (aqui 2k+1) não muda esse fato — o fatorial domina a potência e o polinômio, levando à convergência para todo x.
Resumo prático para lembrar na prova: defina a_k, calcule \dfrac{a_{k+1}}{a_k}, veja que o limite é zero independente de x, e conclua convergência absoluta. Boa — você já tem um procedimento rápido e confiável para séries com k! no denominador!