Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
g) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2 k+1) x^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(2k+1)\,x^{k}}{k!}
é convergente. Informações relevantes dadas:
  • A série é indexada por k=1,2,3,\dots.
  • O termo geral é \dfrac{(2k+1)\,x^{k}}{k!}.
  • Estamos interessados apenas em x>0.
  • Os termos são não negativos para x>0 (portanto convergência equivale a convergência absoluta).

Passo 2

Vou aplicar o teste da razão (teste de d’Alembert). Explico o teste passo a passo:
  • Seja a_k o termo geral de uma série numérica. Definimos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui usamos esse teste porque a presença de k! no denominador costuma facilitar o cálculo da razão entre termos consecutivos.

Passo 3

Defino o termo geral
a_k=\frac{(2k+1)\,x^{k}}{k!},\qquad k\ge1.
Agora escrevo o quociente \dfrac{a_{k+1}}{a_k} e simplifico passo a passo:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\dfrac{(2(k+1)+1)\,x^{\,k+1}}{(k+1)!}}{\dfrac{(2k+1)\,x^{k}}{k!}} = \frac{(2k+3)\,x^{\,k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{(2k+1)\,x^{k}}.

Passo 4

Continuando a simplificação do quociente:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{2k+3}{2k+1}\cdot\frac{x}{k+1}.
Agora calculamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} =\lim_{k\to\infty}\left(\frac{2k+3}{2k+1}\cdot\frac{x}{k+1}\right).
Note que
\lim_{k\to\infty}\frac{2k+3}{2k+1}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{k\to\infty}\frac{x}{k+1}=0,
portanto, pelo produto de limites,
L=1\cdot 0=0.

Passo 5

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(2k+1)\,x^{k}}{k!} converge absolutamente para qualquer x fixo. Em particular, para todo x>0 a série converge.

Passo 6

Comentário intuitivo (útil para a prova): o fator k! cresce muito mais rápido que qualquer potência x^k, então termos do tipo \dfrac{x^k}{k!} já formam a série do tipo e^{x} que converge para todo x. Multiplicar por um polinômio em k (aqui 2k+1) não muda esse fato — o fatorial domina a potência e o polinômio, levando à convergência para todo x.
Resumo prático para lembrar na prova: defina a_k, calcule \dfrac{a_{k+1}}{a_k}, veja que o limite é zero independente de x, e conclua convergência absoluta. Boa — você já tem um procedimento rápido e confiável para séries com k! no denominador!

Resposta

Converge para todo x>0.

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