Exercício 5. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
Se
e
são susbespaços vetoriais do espaço vetorial (
), então
é subespaço vetorial do espaço vetorial
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dados dois subespaços vetoriais
e
de um espaço vetorial
, a união
também seria um subespaço de
. Para decidir isso, vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Recordando: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
. - Para quaisquer
, tem-se . - Para qualquer
e qualquer escalar , tem-se .
Passo 3
Para refutar a afirmação em geral, basta um contra-exemplo. Considere
Ambos são subespaços de
.
Passo 4
Observe que
e ,
mas
e
mas
pois
não está nem no eixo
nem no eixo
. Logo
falha em ser fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.
Resposta
A afirmação é falsa.