Exercício 4. Seja ( V,+, \cdot ) o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem \underline{n}, munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta. W \doteq\{D \in V ; D é matriz diagonal \}.
Passo 1
Resumindo, V é o espaço vetorial real de todas as matrizes n\times n e
W = \{D\in V : D\text{ é diagonal}\}.é
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos usar o critério usual: verificar que W não é vazio e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que W não é vazio encontrando o vetor zero: a matriz nula
0 = (0)_{i,j}
é diagonal (todos os elementos fora da diagonal principal são zero), logo 0\in W.
Passo 3
Sejam D=(d_{ij}) e E=(e_{ij}) duas matrizes diagonais em W. Por definição, para i\neq j vale d_{ij}=0 e e_{ij}=0. Então a soma
D+E = (d_{ij}+e_{ij})
satisfaz para i\neq j:
(d_{ij}+e_{ij}) = 0 + 0 = 0,
portanto D+E também é diagonal e D+E\in W.
Passo 4
Seja \alpha\in\mathbb{R} e D=(d_{ij})\in W. O produto escalar é
\alpha D = (\alpha\,d_{ij}).
Para i\neq j temos d_{ij}=0, logo \alpha\,d_{ij}=0. Assim \alpha D é diagonal e \alpha D\in W.
Passo 5
Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.