Exercício 6) O eixo de transmissão de um trator é feito de um tubo de aço com tensão de cisalhamento admissível \tau_{\mathrm{adm}}=42 \mathrm{MPa}. Se o diâmetro externo for 75 mm e o motor transmitir 145 kW ao eixo quando estiver girando a 1.250 rev/minuto, determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\mathrm{adm}} = 42\\ \mathrm{MPa}.
    • Diâmetro externo do tubo: d_o = 75\\ \mathrm{mm}.
    • Potência transmitida pelo eixo: P = 145\\ \mathrm{kW}.
    • Rotação do eixo: n = 1250\\ \mathrm{rev/min}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a espessura mínima da parede do eixo (ou seja, t_{\min}), supondo que o tubo seja submetido ao torque devido à potência indicada e que a tensão de cisalhamento máxima não ultrapasse \tau_{\mathrm{adm}}.

Passo 2

Entender a relação entre potência, velocidade angular e torque — e como a torção gera tensão de cisalhamento.
  • Fórmula que relaciona potência P, torque T e velocidade angular \omega:
P = T\,\omega.
Aqui:
  • P é a potência em watts ( \mathrm{W}),
  • T é o torque em newton-metro ( \mathrm{N\cdot m}),
  • \omega é a velocidade angular em rad/s.
  • A velocidade angular \omega é obtida a partir do número de rotações por minuto n por:
\omega = 2\pi \frac{n}{60}.
Vamos calcular \omega e depois T usando os dados.

Passo 3

Cálculo numérico de \omega e do torque T.
  • Converter P para SI:
P = 145\\ \mathrm{kW} = 145000\\ \mathrm{W}.
  • Calcular \omega:
\omega = 2\pi \frac{n}{60} = 2\pi \frac{1250}{60}.
Numérico:
\omega \approx 2\pi \cdot 20{,}833333 = 130{,}8996939\\ \mathrm{rad/s}.
  • Agora o torque:
T = \frac{P}{\omega} = \frac{145000}{130{,}8996939}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Numérico:
T \approx 1107{,}90\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Relembrar a fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco submetido a torque.
  • Para um eixo circular oco (tubo), a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por:
\tau_{\max} = \frac{T\,c_o}{J},
onde:
  • c_o é o raio externo,
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (às vezes escrito J_p).
  • Para uma seção circular oca com raio externo c_o e raio interno c_i:
J = \frac{\pi}{2}\left(c_o^4 - c_i^4\right).
Substituindo J na expressão de \tau_{\max} obtemos a forma útil:
\tau_{\max} = \frac{2T\,c_o}{\pi\left(c_o^4 - c_i^4\right)}.
Explicação rápida: o torque tenta girar a seção; o momento polar mede a “resistência geométrica” do contorno à torção; quanto maior J, menor a tensão gerada para um dado torque.

Passo 5

Relacionar \tau_{\max} com \tau_{\mathrm{adm}} e isolar c_i.
Para que o eixo seja seguro, exigimos \tau_{\max} \le \tau_{\mathrm{adm}}. Para a espessura mínima, tomamos igualdade:
\tau_{\mathrm{adm}} = \frac{2T\,c_o}{\pi\left(c_o^4 - c_i^4\right)}.
Isolando c_i^4:
c_o^4 - c_i^4 = \frac{2T\,c_o}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}} \quad\Rightarrow\quad c_i^4 = c_o^4 - \frac{2T\,c_o}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}.
Depois de obter c_i^4 calcula-se c_i = \left(c_i^4\right)^{1/4} e a espessura é
t = c_o - c_i.

Passo 6

Converter dimensões para unidades SI e calcular os termos numéricos da fórmula.
  • Raio externo em metros:
c_o = \frac{d_o}{2} = \frac{75\\ \mathrm{mm}}{2} = 37{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0375\\ \mathrm{m}.
  • Converter \tau_{\mathrm{adm}} para \mathrm{Pa}:
\tau_{\mathrm{adm}} = 42\\ \mathrm{MPa} = 42\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Já temos T \approx 1107{,}90\\ \mathrm{N\cdot m} (do Passo 3).
Calcular o termo subtraído:
\frac{2T\,c_o}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}} = \frac{2\cdot 1107{,}90\cdot 0{,}0375}{\pi\cdot 42\times 10^{6}}.
Fazendo as contas:
2T\,c_o = 2\cdot 1107{,}90\cdot 0{,}0375 \approx 83{,}09265,
\pi\,\tau_{\mathrm{adm}} \approx 3{,}14159265\cdot 42\times 10^{6} \approx 131{,}946{,}891{,}5.
Logo
\frac{2T\,c_o}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}} \approx \frac{83{,}09265}{131{,}946{,}891{,}5} \approx 6{,}2994\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^4}.
Calcular c_o^4:
c_o^4 = (0{,}0375)^4 = 1{,}978515625\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.
Portanto
c_i^4 = c_o^4 - \frac{2T\,c_o}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}} \approx 1{,}978515625\times 10^{-6} - 6{,}2994\times 10^{-7} \approx 1{,}348575685\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.

Passo 7

Extrair c_i e calcular a espessura t.
  • Primeiro obter c_i:
c_i = \left(c_i^4\right)^{1/4}.
Cálculo numérico:
c_i \approx \left(1{,}348575685\times 10^{-6}\right)^{1/4}.
Fazendo a raiz quarta (duas raízes quadradas sucessivas):
\sqrt{1{,}348575685\times 10^{-6}} \approx 1{,}161333\times 10^{-3},
\sqrt{1{,}161333\times 10^{-3}} \approx 0{,}034082\\ \mathrm{m}.
Portanto
c_i \approx 0{,}034082\\ \mathrm{m} = 34{,}082\\ \mathrm{mm}.
  • Agora a espessura mínima:
t_{\min} = c_o - c_i = 37{,}5\\ \mathrm{mm} - 34{,}082\\ \mathrm{mm} \approx 3{,}418\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação e arredondamento prático.
  • O cálculo deu t_{\min}\approx 3{,}418\\ \mathrm{mm}. Na prática de projeto costuma-se adotar um valor comercial ou arredondado para cima, por exemplo t=3{,}5\\ \mathrm{mm} ou t=4\\ \mathrm{mm} para garantir folgas de fabricação e segurança adicional.
  • Mas matematicamente a espessura mínima exigida, segundo os dados e \tau_{\mathrm{adm}}, é aproximadamente 3{,}42\\ \mathrm{mm}.

Resposta

t_{\min} \approx 3{,}42\\ \mathrm{mm}

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