Exercício 6) O eixo de transmissão de um trator é feito de um tubo de aço com tensão de cisalhamento admissível
. Se o diâmetro externo for 75 mm e o motor transmitir 145 kW ao eixo quando estiver girando a 1.250 rev/minuto, determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Tensão de cisalhamento admissível:
. - Diâmetro externo do tubo:
. - Potência transmitida pelo eixo:
. - Rotação do eixo:
.
- Tensão de cisalhamento admissível:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a espessura mínima da parede do eixo (ou seja,
), supondo que o tubo seja submetido ao torque devido à potência indicada e que a tensão de cisalhamento máxima não ultrapasse .
- Determinar a espessura mínima da parede do eixo (ou seja,
Passo 2
Entender a relação entre potência, velocidade angular e torque — e como a torção gera tensão de cisalhamento.
- Fórmula que relaciona potência
, torque e velocidade angular :
Aqui:
-
é a potência em watts ( ), -
é o torque em newton-metro ( ), -
é a velocidade angular em rad/s. -
A velocidade angular
é obtida a partir do número de rotações por minuto por:
Vamos calcular
e depois
usando os dados.
Passo 3
Cálculo numérico de
e do torque
.
- Converter
para SI:
- Calcular
:
Numérico:
- Agora o torque:
Numérico:
Passo 4
Relembrar a fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco submetido a torque.
- Para um eixo circular oco (tubo), a tensão de cisalhamento máxima na superfície externa é dada por:
onde:
-
é o raio externo, -
é o momento polar de inércia da seção transversal (às vezes escrito ). -
Para uma seção circular oca com raio externo
e raio interno :
Substituindo
na expressão de
obtemos a forma útil:
Explicação rápida: o torque tenta girar a seção; o momento polar mede a “resistência geométrica” do contorno à torção; quanto maior
, menor a tensão gerada para um dado torque.
Passo 5
Relacionar
com
e isolar
.
Para que o eixo seja seguro, exigimos
. Para a espessura mínima, tomamos igualdade:
Isolando
:
Depois de obter
calcula-se
e a espessura é
Passo 6
Converter dimensões para unidades SI e calcular os termos numéricos da fórmula.
- Raio externo em metros:
- Converter
para :
- Já temos
(do Passo 3).
Calcular o termo subtraído:
Fazendo as contas:
Logo
Calcular
:
Portanto
Passo 7
Extrair
e calcular a espessura
.
- Primeiro obter
:
Cálculo numérico:
Fazendo a raiz quarta (duas raízes quadradas sucessivas):
Portanto
- Agora a espessura mínima:
Passo 8
Interpretação e arredondamento prático.
- O cálculo deu
. Na prática de projeto costuma-se adotar um valor comercial ou arredondado para cima, por exemplo ou para garantir folgas de fabricação e segurança adicional. - Mas matematicamente a espessura mínima exigida, segundo os dados e
, é aproximadamente .