Após montar o círculo de Mohr para avaliar as tensões em um ponto de uma peça metálica, cujo material ainda não foi determinado, identificaram-se os seguintes valores de de tensões principais: \sigma_{1}=60 \mathrm{MPa}, \sigma_{2}=0 \mathrm{MPa}, \sigma_{3}=-40 \mathrm{MPa}. Considerando que, por requisitos de projeto, a peça deve apresentar fator de segurança mínimo igual a 3 para qualquer modelo de falha considerado, (a) determine qual deve ser a tensão limite de tração para o material a ser escolhido, considerando um modelo de falha por escoamento.
(b) Sabendo que qualquer ângulo medido no círculo de Mohr representa o dobro do ângulo medido no cubo infinitesimal analisado na peça real, determine qual é a tensão normal existente na peça quando ocorrer a tensão cisalhante máxima absoluta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (valores fornecidos):
    • \sigma_{1}=60\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{2}=0\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{3}=-40\\ \mathrm{MPa}
  • Requisito de projeto:
    • fator de segurança mínimo n=3 para qualquer modelo de escoamento considerado.
  • Perguntas:
    • (a) Qual deve ser a tensão limite de tração do material (ou seja, a resistência à tração/escoamento exigida) considerando um modelo de falha por escoamento?
    • (b) Qual é a tensão normal existente na peça quando ocorre a tensão cisalhante máxima absoluta?

Passo 2

Explicação e cálculo pelo critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento) — passo a passo e com intuição.
  • Ideia do critério de Tresca: a falha por escoamento acontece quando a máxima diferença entre pares de tensões principais alcança a resistência ao escoamento em tração do corpo. Uma forma prática é usar a grandeza \sigma_{\mathrm{T}}=\max\bigl(|\sigma_{1}-\sigma_{2}|,\;|\sigma_{2}-\sigma_{3}|,\;|\sigma_{3}-\sigma_{1}|\bigr).Em carregamento uniaxial puro com \sigma_{1}=S_y e os outros nulos, \sigma_{\mathrm{T}}=S_y, portanto para projeto com coeficiente de segurança n exige-se S_{y,\mathrm{req}}^{\mathrm{(Tresca)}} = n\;\sigma_{\mathrm{T}}.
  • Calculemos as diferenças (peguei os valores de \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} do enunciado): |\sigma_{1}-\sigma_{2}|=|60-0|=60\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_{2}-\sigma_{3}|=|0-(-40)|=40\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_{3}-\sigma_{1}|=|-40-60|=100\\ \mathrm{MPa}.
  • Logo \sigma_{\mathrm{T}}=\max(60,\;40,\;100)=100\\ \mathrm{MPa}.
  • Aplicando o fator de segurança n=3: S_{y,\mathrm{req}}^{\mathrm{(Tresca)}} = 3\times100 = 300\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Explicação e cálculo pelo critério de von Mises (energia de distorção) — passo a passo.
  • Ideia do critério de von Mises: define uma tensão equivalente \sigma_{\mathrm{v}} que, se igual à resistência ao escoamento em ensaio uniaxial, indica início do escoamento. A fórmula em termos de tensões principais é \sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\Bigl[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\Bigr]}.Para projeto com fator n exige-se S_{y,\mathrm{req}}^{\mathrm{(von\;Mises)}} = n\;\sigma_{\mathrm{v}}.
  • Calculemos cada termo (usei os \sigma do enunciado): (\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}=(60-0)^{2}=60^{2}=3600,
(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}=(0-(-40))^{2}=40^{2}=1600,
(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}=(-40-60)^{2}=(-100)^{2}=10000.
  • Soma e metade: \tfrac{1}{2}\bigl(3600+1600+10000\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot15200=7600.
  • Portanto \sigma_{\mathrm{v}}=\sqrt{7600}\approx87{,}18\\ \mathrm{MPa}.
  • Aplicando o fator de segurança n=3: S_{y,\mathrm{req}}^{\mathrm{(von\;Mises)}} = 3\times87{,}18 \approx261{,}54\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Escolha conservadora (satisfazer “qualquer modelo de falha considerado”).
  • O enunciado exige n=3 para qualquer modelo; isso significa escolher um material com resistência ao escoamento (tensão limite de tração/cesoamento) maior ou igual ao maior dos valores exigidos pelos critérios considerados.
  • Comparando: S_{y,\mathrm{req}}^{\mathrm{(Tresca)}}=300\\ \mathrm{MPa}, \qquad S_{y,\mathrm{req}}^{\mathrm{(von\;Mises)}}\approx261{,}54\\ \mathrm{MPa}.
  • O valor mais conservador (maior) é 300\\ \mathrm{MPa}. Logo, para garantir segurança n=3 independentemente do critério, a tensão limite de tração mínima do material deve ser S_{y,\min}=300\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Cálculo da tensão normal na peça quando ocorre a tensão cisalhante máxima absoluta (relação com o círculo de Mohr, explicado de forma simples).
  • Intuição rápida: no círculo de Mohr, o eixo horizontal é tensão normal \sigma e o eixo vertical é tensão de cisalhamento \tau. Para um par de tensões principais \sigma_{i},\sigma_{j} o centro do círculo associado fica em \tfrac{\sigma_{i}+\sigma_{j}}{2} e o raio é \tfrac{|\sigma_{i}-\sigma_{j}|}{2}. A máxima cisalhante absoluta associada a esse par é justamente o raio. No elemento real, a orientação onde a cisalhante é máxima corresponde a um ângulo de 45^\circ relativo às direções principais (por isso o círculo de Mohr “duplica” os ângulos).
  • Primeiro determine qual par de tensões principais produz a maior diferença (peguei os números do enunciado; já calculei no Passo 2): |\sigma_{3}-\sigma_{1}|=100\\ \mathrm{MPa}é a maior diferença (maior que 60 e 40). Portanto a máxima tensão de cisalhamento absoluta é obtida entre \sigma_{1} e \sigma_{3}.
  • A máxima cisalhante absoluta vale \tau_{\max}=\tfrac{1}{2}|\sigma_{1}-\sigma_{3}|=\tfrac{1}{2}\times100=50\\ \mathrm{MPa}.
  • A tensão normal na peça, na superfície onde essa cisalhante máxima ocorre, é o centro do círculo formado pelos pares \sigma_{1},\sigma_{3}, isto é a média aritmética: \sigma_{\mathrm{normal}}=\tfrac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}=\tfrac{60+(-40)}{2}=\tfrac{20}{2}=10\\ \mathrm{MPa}.
  • Interpretação simples: quando a cisalhante absoluta é máxima (plano orientado a 45^\circ entre direções principais), o normal sobre esse plano é a média dos dois principais envolvidos.

Resposta

(a) 300\\ \mathrm{MPa}
(b) 10\\ \mathrm{MPa}

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