Questão 2.

Ao realizar a análise de tensões em uma peça, foi calculado o seguinte tensor de tensões em um ponto crítico da mesma, dado em função de um escalar T :
[\sigma]=\left[\begin{array}{ccc} 6 T & 0 & -2 T \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -2 T & 0 & 2 T \end{array}\right]
(a) Calcule as tensões principais em função de T.
(b) Indique o ângulo e direção em que \sigma_{1} pode ser encontrada em relação à orientação original da peça.

Passo 1

O enunciado dá o tensor de tensões (em função do escalar T):
[\sigma]=\begin{pmatrix} 6T & 0 & -2T\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] -2T & 0 & 2T \end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Calcular as tensões principais em função de T (ou seja, os autovalores de [\sigma]).
(b) Indicar o ângulo e a direção em que \sigma_{1} (a maior tensão principal) pode ser encontrada em relação à orientação original da peça.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O tensor é simétrico (portanto tem autovalores reais e autovetores ortogonais).
  • A segunda linha/coluna é nula exceto pelo elemento diagonal 0, o que sugere que um autovalor pode ser 0 com autovetor na direção do eixo y.]

Passo 2

Conceito e método. Tensões principais = autovalores de [\sigma]. Para encontrar os autovalores \lambda resolve-se
\det([\sigma]-\lambda I)=0.
Observação rápida aproveitando a estrutura: como todas as componentes envolvendo a direção y são nulas, tem-se imediatamente um autovetor (0,1,0) com autovalor \lambda=0. Isso resolve uma das três tensões principais sem contas longas. Restam então as componentes na submatriz no plano x\!-\!z:
\begin{pmatrix}6T & -2T\\[2pt]-2T & 2T\end{pmatrix},
cujo polinômio característico dá os outros dois autovalores.]

Passo 3

Cálculo dos dois autovalores restantes. Monta-se o determinante da submatriz:
\det\!\begin{pmatrix}6T-\lambda & -2T\\[2pt]-2T & 2T-\lambda\end{pmatrix}=(6T-\lambda)(2T-\lambda)-(-2T)^2.
Desenvolvendo:
(6T-\lambda)(2T-\lambda)-4T^2 = 12T^2-8T\lambda+\lambda^2-4T^2=\lambda^2-8T\lambda+8T^2.
Igualando a zero obtemos a quadrática
\lambda^2-8T\lambda+8T^2=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{8T\pm\sqrt{(8T)^2-4\cdot1\cdot8T^2}}{2} =\frac{8T\pm\sqrt{64T^2-32T^2}}{2} =\frac{8T\pm\sqrt{32}\,T}{2}.
Como \sqrt{32}=4\sqrt{2} segue
\lambda=4T\pm2T\sqrt{2}.]

Passo 4

Lista das três tensões principais (autovalores). Juntando com o autovalor já identificado:
\lambda_1 = 4T+2T\sqrt{2},\qquad \lambda_2 = 4T-2T\sqrt{2},\qquad \lambda_3 = 0.
Observação sobre ordenação: se T>0, \lambda_1 é a maior tensão principal \sigma_1, \lambda_2 é a segunda \sigma_2 e \lambda_3=0 é a menor \sigma_3. Se T<0 a ordem numérica inverte conforme o sinal de T; os valores funcionais acima mantêm-se corretos.

Passo 5

Encontrar a direção (autovetor) associada a \sigma_1=\lambda_1=4T+2T\sqrt{2}. Trabalha-se na submatriz x\!-\!z. A equação ([\sigma]-\lambda_1 I)\mathbf{v}=\mathbf{0} dá, para as componentes v_x,v_z,
(6T-\lambda_1)v_x-2T\,v_z=0.
Substituindo \lambda_1:
6T-(4T+2T\sqrt{2})=2T-2T\sqrt{2}=2T(1-\sqrt{2}).
Logo
2T(1-\sqrt{2})\,v_x-2T\,v_z=0 \quad\Rightarrow\quad v_z=(1-\sqrt{2})\,v_x.
Um autovetor não normalizado é, por exemplo,
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1-\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Normalizando (módulo)
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1+(1-\sqrt{2})^2}=\sqrt{4-2\sqrt{2}}.
O versor na direção de \sigma_1 fica
\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1-\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar o ângulo \theta entre a direção de \sigma_1 e o eixo x (no plano x\!-\!z). Pode-se usar a relação conhecida para tensões no plano:
\tan(2\theta)=\frac{2\tau_{xz}}{\sigma_{xx}-\sigma_{zz}}.
Aqui \tau_{xz}=-2T, \sigma_{xx}=6T, \sigma_{zz}=2T. Então
\tan(2\theta)=\frac{2(-2T)}{6T-2T}=\frac{-4T}{4T}=-1.
Portanto 2\theta=\arctan(-1)=-45^\circ (ou -\pi/4 radianos). Logo
\theta=-22{,}5^\circ=-\frac{\pi}{8}\\ \text{rad}.
O sinal negativo significa que a direção de \sigma_1 está rotacionada 22{,}5^\circ no sentido horário a partir do eixo x. Verificação rápida: \tan\theta=1-\sqrt{2}\approx-0{,}4142 e \theta=\arctan(-0{,}4142)=-22{,}5^\circ, consistente com o autovetor calculado. A forma do vetor unitário pode também ser escrita usando cosseno e seno:
\hat{\mathbf{v}}=(\cos22{,}5^\circ,\,0,\,-\sin22{,}5^\circ),
pois numericamente \cos22{,}5^\circ\approx0{,}92388 e -\sin22{,}5^\circ\approx-0{,}38268, em acordo com \hat{\mathbf{v}} acima.

Resposta

(a) \sigma_{1}=T(4+2\sqrt{2}),\quad \sigma_{2}=T(4-2\sqrt{2}),\quad \sigma_{3}=0.
(b) A direção de \sigma_{1} forma \theta=-22{,}5^\circ (ou -\pi/8 rad) em relação ao eixo x — isto é, 22{,}5^\circ no sentido horário a partir do eixo x; vetor unitário de direção \displaystyle \hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1-\sqrt{2}\end{pmatrix} (equivalentemente (\cos22{,}5^\circ,\,0,\,-\sin22{,}5^\circ)).]

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