Ao realizar a análise de tensões em uma peça, foi calculado o seguinte tensor de tensões em um ponto crítico da mesma, dado em função de um escalar T :
[\sigma]=\left[\begin{array}{ccc} 6 T & 0 & -2 T \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -2 T & 0 & 2 T \end{array}\right]
(a) Calcule as tensões principais em função de T.
(b) Indique o ângulo e direção em que \sigma_{1} pode ser encontrada em relação à orientação original da peça.
Passo 1
O enunciado dá o tensor de tensões (em função do escalar T):
As perguntas são:
(a) Calcular as tensões principais em função de T (ou seja, os autovalores de [\sigma]).
(b) Indicar o ângulo e a direção em que \sigma_{1} (a maior tensão principal) pode ser encontrada em relação à orientação original da peça.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O tensor é simétrico (portanto tem autovalores reais e autovetores ortogonais).
A segunda linha/coluna é nula exceto pelo elemento diagonal 0, o que sugere que um autovalor pode ser 0 com autovetor na direção do eixo y.]
Passo 2
Conceito e método. Tensões principais = autovalores de [\sigma]. Para encontrar os autovalores \lambda resolve-se
\det([\sigma]-\lambda I)=0.
Observação rápida aproveitando a estrutura: como todas as componentes envolvendo a direção y são nulas, tem-se imediatamente um autovetor (0,1,0) com autovalor \lambda=0. Isso resolve uma das três tensões principais sem contas longas. Restam então as componentes na submatriz no plano x\!-\!z:
Observação sobre ordenação: se T>0, \lambda_1 é a maior tensão principal \sigma_1, \lambda_2 é a segunda \sigma_2 e \lambda_3=0 é a menor \sigma_3. Se T<0 a ordem numérica inverte conforme o sinal de T; os valores funcionais acima mantêm-se corretos.
Passo 5
Encontrar a direção (autovetor) associada a \sigma_1=\lambda_1=4T+2T\sqrt{2}. Trabalha-se na submatriz x\!-\!z. A equação ([\sigma]-\lambda_1 I)\mathbf{v}=\mathbf{0} dá, para as componentes v_x,v_z,
Portanto 2\theta=\arctan(-1)=-45^\circ (ou -\pi/4 radianos). Logo
\theta=-22{,}5^\circ=-\frac{\pi}{8}\\ \text{rad}.
O sinal negativo significa que a direção de \sigma_1 está rotacionada 22{,}5^\circ no sentido horário a partir do eixo x. Verificação rápida: \tan\theta=1-\sqrt{2}\approx-0{,}4142 e \theta=\arctan(-0{,}4142)=-22{,}5^\circ, consistente com o autovetor calculado. A forma do vetor unitário pode também ser escrita usando cosseno e seno:
(b) A direção de \sigma_{1} forma \theta=-22{,}5^\circ (ou -\pi/8 rad) em relação ao eixo x — isto é, 22{,}5^\circ no sentido horário a partir do eixo x; vetor unitário de direção \displaystyle \hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1-\sqrt{2}\end{pmatrix} (equivalentemente (\cos22{,}5^\circ,\,0,\,-\sin22{,}5^\circ)).]