Exercício 1.6 - Uma embreagem cônica com revestimento de fricção de amianto transmite 30 kW de potência a 500 rpm. O coeficiente de atrito é de 0,2 e a intensidade de pressão permitida é de
. O ângulo do cone vale
. O diâmetro externo é fixado em 300 mm por limitações de espaço. Supondo que a teoria do desgaste uniforme calcule:
(i) o diâmetro interno da embreagem (ii) a força necessária para acionar a embreagem.
(i) o diâmetro interno da embreagem (ii) a força necessária para acionar a embreagem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(i) o diâmetro interno da embreagem (vamos chamar de );\n
(ii) a força necessária para acionar a embreagem (a força axial aplicada, que vou chamar de ).\n
Informações fornecidas (vou listar tudo e com unidades, para não nos perder):\n
Potência transmitida:
.\n
Rotação:
.\n
Coeficiente de atrito:
.\n
Intensidade de pressão permitida:
.\n
Ângulo do cone:
.\n
Diâmetro externo fixo:
. Portanto o raio externo é
\n
Observação importante (não resolvo ainda): a teoria do desgaste uniforme implica que a pressão normal varia como . Vou usar essa hipótese para obter as fórmulas que ligam torque, pressão máxima e força axial.
(i) o diâmetro interno da embreagem (vamos chamar de
(ii) a força necessária para acionar a embreagem (a força axial aplicada, que vou chamar de
Informações fornecidas (vou listar tudo e com unidades, para não nos perder):\n
Observação importante (não resolvo ainda): a teoria do desgaste uniforme implica que a pressão normal varia como
Passo 2
Calcular o torque requerido pela embreagem a partir da potência e rotação (porque a embreagem precisa transmitir esse torque).\n
Fórmula que usamos: , onde
é a velocidade angular em
.\n
Calcular :\n
Fórmula que usamos:
Calcular
Substituindo
:\n
Agora o torque:\n
Passo 3
Explicar e deduzir a fórmula da teoria do desgaste uniforme para embreagem cônica (eu vou desenvolver passo a passo):\n
- Elemento de área sobre a superfície cônica. Se
é o raio medido no plano da face, um anel de espessura tem área (sobre a superfície inclinada):
onde
é o elemento de comprimento ao longo da geratriz. Como a geratriz e o raio fazem
na projeção radial, temos
. Logo
- Teoria do desgaste uniforme: a taxa de desgaste local é proporcional a
(pressão vezes velocidade escorregante). Para desgaste uniforme em toda a superfície, constante. Como a velocidade escorregante é , segue . Escrevemos
com
constante a determinar.\n
3) Resultante da força normal sobre a face (integrando ):\n
3) Resultante da força normal sobre a face (integrando
- Momento de atrito (torque) transmitido pela face (cada elemento contribui com
de força tangencial em , gerando momento ):\n
Fazendo a integral:\n
- Eliminar
usando a expressão de . De segue . Substituindo em :\n
Mas
. Portanto obtemos a fórmula simples e muito usada:\n
Isto dá uma interpretação física bacana: o torque é igual ao produto do coeficiente de atrito vezes a normal resultante vezes o raio médio
(na hipótese de desgaste uniforme).
Passo 4
Expressar a restrição da pressão máxima (essa será a outra equação que fecha o problema). A pressão máxima ocorre no menor raio
:\n
Substituímos
obtido em termos de
:\n
Impondo que essa pressão máxima seja igual à intensidade permitida
, temos a equação de projeto:\n
Passo 5
Agora substituímos
obtido a partir da fórmula do torque na equação da pressão máxima, para eliminar
e obter uma equação apenas em
(o que nos permite achar o raio interno). Da fórmula do torque isolamos
:\n
Substituindo em
resulta:\n
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação a resolver:\n
Reescrevendo como polinômio em
:\n
Passo 6
Substituir os valores numéricos (atenção às unidades):\n
,
,
,
,
.\n
Calcule o coeficiente :\n
Calcule o coeficiente
A equação numérica fica (valores aproximados):
Calcule
.\n
E .\n
Portanto a equação numérica é aproximadamente:\n
E
Portanto a equação numérica é aproximadamente:\n
Passo 7
Resolver numericamente a equação cúbica para
(procuro uma raiz positiva menor que
). Vou usar um método simples de tentativa (bisseção / aproximações) mostrando os testes para você reproduzir na prova se quiser:\n
Testes rápidos:\n
-> valor da função
.\n
-> valor da função
.\n
Logo a raiz está entre e
.\n
Aproximação por tentativas mais finas (vou mostrar alguns passos):\n
-> o polinômio dá cerca de
(positivo muito pequeno).\n
-> o polinômio dá cerca de
(negativo muito pequeno).\n
Interpolando/afunilando, encontramos raiz próxima de .\n
Portanto o raio interno vale aproximadamente , o que dá o diâmetro interno\n
Testes rápidos:\n
Logo a raiz está entre
Aproximação por tentativas mais finas (vou mostrar alguns passos):\n
Interpolando/afunilando, encontramos raiz próxima de
Portanto o raio interno vale aproximadamente
Passo 8
Calcular a força axial de acionamento
.\n
Primeiro, calcular a resultante normal usando
, isolando
:\n
Primeiro, calcular a resultante normal
Substituindo
,
,
,
:\n
Agora a força axial aplicada
é a soma das componentes axiais das forças normais. Para o resultado global tem-se (geometria do cone) que a componente axial do conjunto é
. Assim:\n
Ou seja,
Resposta
(i)
\n
(ii)
(ii)